Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7457 / 4457
↖ ↑ ↗
← N 63.144431°
W 16.149902°		 ← 1 103.73 m → N 63.144431°
W 16.127929°		 →
↑
1 103.90 m
↓
↑
1 103.90 m
↓
N 63.134503°
W 16.149902°		 ← 1 104.11 m →
1 218 624 m²		 N 63.134503°
W 16.127929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455169677734375 y=0.272064208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455169677734375 × 214)
    floor (0.455169677734375 × 16384)
    floor (7457.5)     		tx = 7457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272064208984375 × 214)
    floor (0.272064208984375 × 16384)
    floor (4457.5)     		ty = 4457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7457 / 4457 ti = "14/7457/4457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7457/4457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7457 ÷ 214
    7457 ÷ 16384     		x = 0.45513916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4457 ÷ 214
    4457 ÷ 16384     		y = 0.27203369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45513916015625 × 2 - 1) × π
    -0.0897216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28186897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27203369140625 × 2 - 1) × π
    0.4559326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43235456064728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28186897} λ = -0.28186897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43235456064728))-π/2
    2×atan(4.18854978495578)-π/2
    2×1.33643727514388-π/2
    2.67287455028775-1.57079632675     		φ = 1.10207822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28186897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.149902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10207822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.144431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7457 KachelY 4457 -0.28186897 1.10207822 -16.149902 63.144431
    Oben rechts KachelX + 1 7458 KachelY 4457 -0.28148547 1.10207822 -16.127929 63.144431
    Unten links KachelX 7457 KachelY + 1 4458 -0.28186897 1.10190495 -16.149902 63.134503
    Unten rechts KachelX + 1 7458 KachelY + 1 4458 -0.28148547 1.10190495 -16.127929 63.134503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10207822-1.10190495) × R
    0.000173270000000114 × 6371000     		dl = 1103.90317000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10207822-1.10190495) × R
    0.000173270000000114 × 6371000     		dr = 1103.90317000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28186897--0.28148547) × cos(1.10207822) × R
    0.000383499999999981 × 0.451743018258869 × 6371000     		do = 1103.73400403695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28186897--0.28148547) × cos(1.10190495) × R
    0.000383499999999981 × 0.451897593979431 × 6371000     		du = 1104.11167557162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10207822)-sin(1.10190495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451743018258869-0.451897593979431)×R²
    abs(-0.28148547--0.28186897)×0.000154575720561934×R²
    0.000383499999999981×0.000154575720561934×6371000²
    0.000383499999999981×0.000154575720561934×40589641000000     		ar = 1218623.92534501m²