Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74569 / 76455
↖ ↑ ↗
← S 28.707452°
E 24.809875°		 ← 267.88 m → S 28.707452°
E 24.812622°		 →
↑
267.84 m
↓
↑
267.84 m
↓
S 28.709861°
E 24.809875°		 ← 267.88 m →
71 748 m²		 S 28.709861°
E 24.812622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568920135498047 y=0.583309173583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568920135498047 × 217)
    floor (0.568920135498047 × 131072)
    floor (74569.5)     		tx = 74569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583309173583984 × 217)
    floor (0.583309173583984 × 131072)
    floor (76455.5)     		ty = 76455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74569 / 76455 ti = "17/74569/76455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74569/76455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74569 ÷ 217
    74569 ÷ 131072     		x = 0.568916320800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76455 ÷ 217
    76455 ÷ 131072     		y = 0.583305358886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568916320800781 × 2 - 1) × π
    0.137832641601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.43301401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583305358886719 × 2 - 1) × π
    -0.166610717773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.523423006951393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43301401} λ = 0.43301401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.523423006951393))-π/2
    2×atan(0.592488979022714)-π/2
    2×0.534878385740481-π/2
    1.06975677148096-1.57079632675     		φ = -0.50103956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43301401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.809875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50103956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.707452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74569 KachelY 76455 0.43301401 -0.50103956 24.809875 -28.707452
    Oben rechts KachelX + 1 74570 KachelY 76455 0.43306195 -0.50103956 24.812622 -28.707452
    Unten links KachelX 74569 KachelY + 1 76456 0.43301401 -0.50108160 24.809875 -28.709861
    Unten rechts KachelX + 1 74570 KachelY + 1 76456 0.43306195 -0.50108160 24.812622 -28.709861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50103956--0.50108160) × R
    4.20399999999654e-05 × 6371000     		dl = 267.83683999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50103956--0.50108160) × R
    4.20399999999654e-05 × 6371000     		dr = 267.83683999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43301401-0.43306195) × cos(-0.50103956) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.877083696172119 × 6371000     		do = 267.883936945129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43301401-0.43306195) × cos(-0.50108160) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.877063502005237 × 6371000     		du = 267.877769126765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50103956)-sin(-0.50108160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877083696172119-0.877063502005237)×R²
    abs(0.43306195-0.43301401)×2.01941668820371e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01941668820371e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01941668820371e-05×40589641000000     		ar = 71748.3611841446m²