Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74569 / 53959
↖ ↑ ↗
← N 30.280416°
E 24.809875°		 ← 263.76 m → N 30.280416°
E 24.812622°		 →
↑
263.70 m
↓
↑
263.70 m
↓
N 30.278045°
E 24.809875°		 ← 263.76 m →
69 552 m²		 N 30.278045°
E 24.812622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568920135498047 y=0.411678314208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568920135498047 × 217)
    floor (0.568920135498047 × 131072)
    floor (74569.5)     		tx = 74569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411678314208984 × 217)
    floor (0.411678314208984 × 131072)
    floor (53959.5)     		ty = 53959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74569 / 53959 ti = "17/74569/53959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74569/53959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74569 ÷ 217
    74569 ÷ 131072     		x = 0.568916320800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53959 ÷ 217
    53959 ÷ 131072     		y = 0.411674499511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568916320800781 × 2 - 1) × π
    0.137832641601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.43301401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411674499511719 × 2 - 1) × π
    0.176651000976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.55496548690139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43301401} λ = 0.43301401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.55496548690139))-π/2
    2×atan(1.74188086603054)-π/2
    2×1.04964464475455-π/2
    2.09928928950911-1.57079632675     		φ = 0.52849296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43301401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.809875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52849296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.280416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74569 KachelY 53959 0.43301401 0.52849296 24.809875 30.280416
    Oben rechts KachelX + 1 74570 KachelY 53959 0.43306195 0.52849296 24.812622 30.280416
    Unten links KachelX 74569 KachelY + 1 53960 0.43301401 0.52845157 24.809875 30.278045
    Unten rechts KachelX + 1 74570 KachelY + 1 53960 0.43306195 0.52845157 24.812622 30.278045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52849296-0.52845157) × R
    4.139000000003e-05 × 6371000     		dl = 263.695690000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52849296-0.52845157) × R
    4.139000000003e-05 × 6371000     		dr = 263.695690000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43301401-0.43306195) × cos(0.52849296) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.863567949402513 × 6371000     		do = 263.755879986372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43301401-0.43306195) × cos(0.52845157) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.863588818845269 × 6371000     		du = 263.762254051369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52849296)-sin(0.52845157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863567949402513-0.863588818845269)×R²
    abs(0.43306195-0.43301401)×2.0869442756366e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0869442756366e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0869442756366e-05×40589641000000     		ar = 69552.1291812534m²