Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74568 / 55611
↖ ↑ ↗
← N 26.286028°
E 24.807129°		 ← 273.79 m → N 26.286028°
E 24.809875°		 →
↑
273.83 m
↓
↑
273.83 m
↓
N 26.283565°
E 24.807129°		 ← 273.79 m →
74 970 m²		 N 26.283565°
E 24.809875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568912506103516 y=0.424282073974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568912506103516 × 217)
    floor (0.568912506103516 × 131072)
    floor (74568.5)     		tx = 74568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424282073974609 × 217)
    floor (0.424282073974609 × 131072)
    floor (55611.5)     		ty = 55611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74568 / 55611 ti = "17/74568/55611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74568/55611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74568 ÷ 217
    74568 ÷ 131072     		x = 0.56890869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55611 ÷ 217
    55611 ÷ 131072     		y = 0.424278259277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56890869140625 × 2 - 1) × π
    0.1378173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43296608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424278259277344 × 2 - 1) × π
    0.151443481445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.475773728729057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43296608} λ = 0.43296608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475773728729057))-π/2
    2×atan(1.60925884571506)-π/2
    2×1.01478702721581-π/2
    2.02957405443162-1.57079632675     		φ = 0.45877773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43296608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.807129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45877773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.286028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74568 KachelY 55611 0.43296608 0.45877773 24.807129 26.286028
    Oben rechts KachelX + 1 74569 KachelY 55611 0.43301401 0.45877773 24.809875 26.286028
    Unten links KachelX 74568 KachelY + 1 55612 0.43296608 0.45873475 24.807129 26.283565
    Unten rechts KachelX + 1 74569 KachelY + 1 55612 0.43301401 0.45873475 24.809875 26.283565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45877773-0.45873475) × R
    4.29799999999703e-05 × 6371000     		dl = 273.825579999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45877773-0.45873475) × R
    4.29799999999703e-05 × 6371000     		dr = 273.825579999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43296608-0.43301401) × cos(0.45877773) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.896594452517096 × 6371000     		do = 273.785902107527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43296608-0.43301401) × cos(0.45873475) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.896613485491882 × 6371000     		du = 273.791714055344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45877773)-sin(0.45873475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896594452517096-0.896613485491882)×R²
    abs(0.43301401-0.43296608)×1.90329747863371e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.90329747863371e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.90329747863371e-05×40589641000000     		ar = 74970.3791818943m²