Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74568 / 54585
↖ ↑ ↗
← N 28.784511°
E 24.807129°		 ← 267.63 m → N 28.784511°
E 24.809875°		 →
↑
267.71 m
↓
↑
267.71 m
↓
N 28.782103°
E 24.807129°		 ← 267.64 m →
71 648 m²		 N 28.782103°
E 24.809875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568912506103516 y=0.416454315185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568912506103516 × 217)
    floor (0.568912506103516 × 131072)
    floor (74568.5)     		tx = 74568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416454315185547 × 217)
    floor (0.416454315185547 × 131072)
    floor (54585.5)     		ty = 54585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74568 / 54585 ti = "17/74568/54585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74568/54585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74568 ÷ 217
    74568 ÷ 131072     		x = 0.56890869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54585 ÷ 217
    54585 ÷ 131072     		y = 0.416450500488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56890869140625 × 2 - 1) × π
    0.1378173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43296608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416450500488281 × 2 - 1) × π
    0.167098999023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.524956987739235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43296608} λ = 0.43296608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524956987739235))-π/2
    2×atan(1.69038613948599)-π/2
    2×1.03659040784612-π/2
    2.07318081569223-1.57079632675     		φ = 0.50238449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43296608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.807129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50238449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.784511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74568 KachelY 54585 0.43296608 0.50238449 24.807129 28.784511
    Oben rechts KachelX + 1 74569 KachelY 54585 0.43301401 0.50238449 24.809875 28.784511
    Unten links KachelX 74568 KachelY + 1 54586 0.43296608 0.50234247 24.807129 28.782103
    Unten rechts KachelX + 1 74569 KachelY + 1 54586 0.43301401 0.50234247 24.809875 28.782103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50238449-0.50234247) × R
    4.2019999999976e-05 × 6371000     		dl = 267.709419999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50238449-0.50234247) × R
    4.2019999999976e-05 × 6371000     		dr = 267.709419999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43296608-0.43301401) × cos(0.50238449) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.876436882696127 × 6371000     		do = 267.630545667125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43296608-0.43301401) × cos(0.50234247) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.876457115256644 × 6371000     		du = 267.636723922877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50238449)-sin(0.50234247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876436882696127-0.876457115256644)×R²
    abs(0.43301401-0.43296608)×2.02325605168641e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.02325605168641e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.02325605168641e-05×40589641000000     		ar = 71648.0451540183m²