Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74566 / 54629
↖ ↑ ↗
← N 28.678540°
E 24.801636°		 ← 267.96 m → N 28.678540°
E 24.804382°		 →
↑
267.96 m
↓
↑
267.96 m
↓
N 28.676130°
E 24.801636°		 ← 267.96 m →
71 804 m²		 N 28.676130°
E 24.804382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568897247314453 y=0.416790008544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568897247314453 × 217)
    floor (0.568897247314453 × 131072)
    floor (74566.5)     		tx = 74566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416790008544922 × 217)
    floor (0.416790008544922 × 131072)
    floor (54629.5)     		ty = 54629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74566 / 54629 ti = "17/74566/54629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74566/54629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74566 ÷ 217
    74566 ÷ 131072     		x = 0.568893432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54629 ÷ 217
    54629 ÷ 131072     		y = 0.416786193847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568893432617188 × 2 - 1) × π
    0.137786865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43287020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416786193847656 × 2 - 1) × π
    0.166427612304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.522847764155952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43287020} λ = 0.43287020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.522847764155952))-π/2
    2×atan(1.6868244946488)-π/2
    2×1.03566563817047-π/2
    2.07133127634094-1.57079632675     		φ = 0.50053495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43287020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.801636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50053495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.678540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74566 KachelY 54629 0.43287020 0.50053495 24.801636 28.678540
    Oben rechts KachelX + 1 74567 KachelY 54629 0.43291814 0.50053495 24.804382 28.678540
    Unten links KachelX 74566 KachelY + 1 54630 0.43287020 0.50049289 24.801636 28.676130
    Unten rechts KachelX + 1 74567 KachelY + 1 54630 0.43291814 0.50049289 24.804382 28.676130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50053495-0.50049289) × R
    4.20600000000659e-05 × 6371000     		dl = 267.96426000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50053495-0.50049289) × R
    4.20600000000659e-05 × 6371000     		dr = 267.96426000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43287020-0.43291814) × cos(0.50053495) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877325967641172 × 6371000     		do = 267.957932888155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43287020-0.43291814) × cos(0.50049289) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877346151246024 × 6371000     		du = 267.964097480603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50053495)-sin(0.50049289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877325967641172-0.877346151246024)×R²
    abs(0.43291814-0.43287020)×2.01836048526749e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01836048526749e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01836048526749e-05×40589641000000     		ar = 71803.9751534867m²