Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74564 / 77131
↖ ↑ ↗
← S 30.323100°
E 24.796143°		 ← 263.64 m → S 30.323100°
E 24.798889°		 →
↑
263.63 m
↓
↑
263.63 m
↓
S 30.325471°
E 24.796143°		 ← 263.63 m →
69 503 m²		 S 30.325471°
E 24.798889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568881988525391 y=0.588466644287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568881988525391 × 217)
    floor (0.568881988525391 × 131072)
    floor (74564.5)     		tx = 74564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588466644287109 × 217)
    floor (0.588466644287109 × 131072)
    floor (77131.5)     		ty = 77131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74564 / 77131 ti = "17/74564/77131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74564/77131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74564 ÷ 217
    74564 ÷ 131072     		x = 0.568878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77131 ÷ 217
    77131 ÷ 131072     		y = 0.588462829589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568878173828125 × 2 - 1) × π
    0.13775634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43277433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588462829589844 × 2 - 1) × π
    -0.176925659179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.555828351094551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43277433} λ = 0.43277433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.555828351094551))-π/2
    2×atan(0.573596924710452)-π/2
    2×0.520779192182542-π/2
    1.04155838436508-1.57079632675     		φ = -0.52923794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43277433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.796143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52923794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.323100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74564 KachelY 77131 0.43277433 -0.52923794 24.796143 -30.323100
    Oben rechts KachelX + 1 74565 KachelY 77131 0.43282227 -0.52923794 24.798889 -30.323100
    Unten links KachelX 74564 KachelY + 1 77132 0.43277433 -0.52927932 24.796143 -30.325471
    Unten rechts KachelX + 1 74565 KachelY + 1 77132 0.43282227 -0.52927932 24.798889 -30.325471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52923794--0.52927932) × R
    4.13799999999798e-05 × 6371000     		dl = 263.631979999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52923794--0.52927932) × R
    4.13799999999798e-05 × 6371000     		dr = 263.631979999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43277433-0.43282227) × cos(-0.52923794) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.86319206668416 × 6371000     		do = 263.641075729271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43277433-0.43282227) × cos(-0.52927932) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.86317117418935 × 6371000     		du = 263.634694623584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52923794)-sin(-0.52927932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86319206668416-0.86317117418935)×R²
    abs(0.43282227-0.43277433)×2.08924948101874e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08924948101874e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08924948101874e-05×40589641000000     		ar = 69503.3776820502m²