Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74564 / 53373
↖ ↑ ↗
← N 31.660395°
E 24.796143°		 ← 259.97 m → N 31.660395°
E 24.798889°		 →
↑
260 m
↓
↑
260 m
↓
N 31.658057°
E 24.796143°		 ← 259.98 m →
67 593 m²		 N 31.658057°
E 24.798889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568881988525391 y=0.407207489013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568881988525391 × 217)
    floor (0.568881988525391 × 131072)
    floor (74564.5)     		tx = 74564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407207489013672 × 217)
    floor (0.407207489013672 × 131072)
    floor (53373.5)     		ty = 53373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74564 / 53373 ti = "17/74564/53373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74564/53373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74564 ÷ 217
    74564 ÷ 131072     		x = 0.568878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53373 ÷ 217
    53373 ÷ 131072     		y = 0.407203674316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568878173828125 × 2 - 1) × π
    0.13775634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43277433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407203674316406 × 2 - 1) × π
    0.185592651367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.583056510078743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43277433} λ = 0.43277433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.583056510078743))-π/2
    2×atan(1.79150582653336)-π/2
    2×1.06168723208035-π/2
    2.12337446416071-1.57079632675     		φ = 0.55257814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43277433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.796143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55257814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.660395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74564 KachelY 53373 0.43277433 0.55257814 24.796143 31.660395
    Oben rechts KachelX + 1 74565 KachelY 53373 0.43282227 0.55257814 24.798889 31.660395
    Unten links KachelX 74564 KachelY + 1 53374 0.43277433 0.55253733 24.796143 31.658057
    Unten rechts KachelX + 1 74565 KachelY + 1 53374 0.43282227 0.55253733 24.798889 31.658057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55257814-0.55253733) × R
    4.08100000000022e-05 × 6371000     		dl = 260.000510000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55257814-0.55253733) × R
    4.08100000000022e-05 × 6371000     		dr = 260.000510000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43277433-0.43282227) × cos(0.55257814) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.851174129419014 × 6371000     		do = 259.970488346789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43277433-0.43282227) × cos(0.55253733) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.851195549202458 × 6371000     		du = 259.977030499998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55257814)-sin(0.55253733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851174129419014-0.851195549202458)×R²
    abs(0.43282227-0.43277433)×2.14197834439434e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14197834439434e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14197834439434e-05×40589641000000     		ar = 67593.3100461636m²