Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74563 / 54631
↖ ↑ ↗
← N 28.673721°
E 24.793396°		 ← 267.97 m → N 28.673721°
E 24.796143°		 →
↑
267.96 m
↓
↑
267.96 m
↓
N 28.671311°
E 24.793396°		 ← 267.98 m →
71 807 m²		 N 28.671311°
E 24.796143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568874359130859 y=0.416805267333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568874359130859 × 217)
    floor (0.568874359130859 × 131072)
    floor (74563.5)     		tx = 74563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416805267333984 × 217)
    floor (0.416805267333984 × 131072)
    floor (54631.5)     		ty = 54631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74563 / 54631 ti = "17/74563/54631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74563/54631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74563 ÷ 217
    74563 ÷ 131072     		x = 0.568870544433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54631 ÷ 217
    54631 ÷ 131072     		y = 0.416801452636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568870544433594 × 2 - 1) × π
    0.137741088867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.43272639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416801452636719 × 2 - 1) × π
    0.166397094726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.522751890356712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43272639} λ = 0.43272639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.522751890356712))-π/2
    2×atan(1.68666278012807)-π/2
    2×1.03562358091616-π/2
    2.07124716183232-1.57079632675     		φ = 0.50045084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43272639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.793396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50045084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.673721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74563 KachelY 54631 0.43272639 0.50045084 24.793396 28.673721
    Oben rechts KachelX + 1 74564 KachelY 54631 0.43277433 0.50045084 24.796143 28.673721
    Unten links KachelX 74563 KachelY + 1 54632 0.43272639 0.50040878 24.793396 28.671311
    Unten rechts KachelX + 1 74564 KachelY + 1 54632 0.43277433 0.50040878 24.796143 28.671311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50045084-0.50040878) × R
    4.20599999999549e-05 × 6371000     		dl = 267.964259999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50045084-0.50040878) × R
    4.20599999999549e-05 × 6371000     		dr = 267.964259999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43272639-0.43277433) × cos(0.50045084) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.877366328500602 × 6371000     		do = 267.970260133204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43272639-0.43277433) × cos(0.50040878) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.877386509001661 × 6371000     		du = 267.976423777673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50045084)-sin(0.50040878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877366328500602-0.877386509001661)×R²
    abs(0.43277433-0.43272639)×2.01805010587863e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01805010587863e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01805010587863e-05×40589641000000     		ar = 71807.2782873344m²