Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74561 / 56128
↖ ↑ ↗
← N 25.005973°
E 24.787903°		 ← 276.80 m → N 25.005973°
E 24.790650°		 →
↑
276.82 m
↓
↑
276.82 m
↓
N 25.003483°
E 24.787903°		 ← 276.80 m →
76 624 m²		 N 25.003483°
E 24.790650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568859100341797 y=0.428226470947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568859100341797 × 217)
    floor (0.568859100341797 × 131072)
    floor (74561.5)     		tx = 74561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428226470947266 × 217)
    floor (0.428226470947266 × 131072)
    floor (56128.5)     		ty = 56128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74561 / 56128 ti = "17/74561/56128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74561/56128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74561 ÷ 217
    74561 ÷ 131072     		x = 0.568855285644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56128 ÷ 217
    56128 ÷ 131072     		y = 0.42822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568855285644531 × 2 - 1) × π
    0.137710571289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.43263052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42822265625 × 2 - 1) × π
    0.1435546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.450990351625488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43263052} λ = 0.43263052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450990351625488))-π/2
    2×atan(1.56986613536372)-π/2
    2×1.00361644114913-π/2
    2.00723288229826-1.57079632675     		φ = 0.43643656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43263052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.787903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43643656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.005973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74561 KachelY 56128 0.43263052 0.43643656 24.787903 25.005973
    Oben rechts KachelX + 1 74562 KachelY 56128 0.43267846 0.43643656 24.790650 25.005973
    Unten links KachelX 74561 KachelY + 1 56129 0.43263052 0.43639311 24.787903 25.003483
    Unten rechts KachelX + 1 74562 KachelY + 1 56129 0.43267846 0.43639311 24.790650 25.003483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43643656-0.43639311) × R
    4.34500000000004e-05 × 6371000     		dl = 276.819950000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43643656-0.43639311) × R
    4.34500000000004e-05 × 6371000     		dr = 276.819950000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43263052-0.43267846) × cos(0.43643656) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.906263725425577 × 6371000     		do = 276.796268973082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43263052-0.43267846) × cos(0.43639311) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.906282091438626 × 6371000     		du = 276.801878426208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43643656)-sin(0.43639311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906263725425577-0.906282091438626)×R²
    abs(0.43267846-0.43263052)×1.83660130486096e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83660130486096e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83660130486096e-05×40589641000000     		ar = 76623.5057536655m²