Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7456 / 7333
↖ ↑ ↗
← S 80.452222°
E147.656250°		 ← 810.52 m → S 80.452222°
E147.700195°		 →
↑
810.26 m
↓
↑
810.26 m
↓
S 80.459509°
E147.656250°		 ← 809.91 m →
656 489 m²		 S 80.459509°
E147.700195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91021728515625 y=0.89520263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91021728515625 × 213)
    floor (0.91021728515625 × 8192)
    floor (7456.5)     		tx = 7456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89520263671875 × 213)
    floor (0.89520263671875 × 8192)
    floor (7333.5)     		ty = 7333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7456 / 7333 ti = "13/7456/7333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7456/7333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7456 ÷ 213
    7456 ÷ 8192     		x = 0.91015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7333 ÷ 213
    7333 ÷ 8192     		y = 0.8951416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91015625 × 2 - 1) × π
    0.8203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57708772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8951416015625 × 2 - 1) × π
    -0.790283203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.48274790512195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57708772} λ = 2.57708772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48274790512195))-π/2
    2×atan(0.0835134230360761)-π/2
    2×0.0833200769258251-π/2
    0.16664015385165-1.57079632675     		φ = -1.40415617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57708772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40415617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.452222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7456 KachelY 7333 2.57708772 -1.40415617 147.656250 -80.452222
    Oben rechts KachelX + 1 7457 KachelY 7333 2.57785471 -1.40415617 147.700195 -80.452222
    Unten links KachelX 7456 KachelY + 1 7334 2.57708772 -1.40428335 147.656250 -80.459509
    Unten rechts KachelX + 1 7457 KachelY + 1 7334 2.57785471 -1.40428335 147.700195 -80.459509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40415617--1.40428335) × R
    0.000127180000000005 × 6371000     		dl = 810.263780000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40415617--1.40428335) × R
    0.000127180000000005 × 6371000     		dr = 810.263780000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57708772-2.57785471) × cos(-1.40415617) × R
    0.000766989999999801 × 0.165869990104509 × 6371000     		do = 810.522593657838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57708772-2.57785471) × cos(-1.40428335) × R
    0.000766989999999801 × 0.165744570507925 × 6371000     		du = 809.909731640696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40415617)-sin(-1.40428335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165869990104509-0.165744570507925)×R²
    abs(2.57785471-2.57708772)×0.000125419596584048×R²
    0.000766989999999801×0.000125419596584048×6371000²
    0.000766989999999801×0.000125419596584048×40589641000000     		ar = 656488.811450467m²