Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7456 / 7323
↖ ↑ ↗
← S 80.379054°
E147.656250°		 ← 816.68 m → S 80.379054°
E147.700195°		 →
↑
816.38 m
↓
↑
816.38 m
↓
S 80.386396°
E147.656250°		 ← 816.06 m →
666 466 m²		 S 80.386396°
E147.700195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91021728515625 y=0.89398193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91021728515625 × 213)
    floor (0.91021728515625 × 8192)
    floor (7456.5)     		tx = 7456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89398193359375 × 213)
    floor (0.89398193359375 × 8192)
    floor (7323.5)     		ty = 7323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7456 / 7323 ti = "13/7456/7323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7456/7323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7456 ÷ 213
    7456 ÷ 8192     		x = 0.91015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7323 ÷ 213
    7323 ÷ 8192     		y = 0.8939208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91015625 × 2 - 1) × π
    0.8203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57708772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8939208984375 × 2 - 1) × π
    -0.787841796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.47507800118274
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57708772} λ = 2.57708772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47507800118274))-π/2
    2×atan(0.0841564257005524)-π/2
    2×0.0839585918976235-π/2
    0.167917183795247-1.57079632675     		φ = -1.40287914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57708772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40287914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.379054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7456 KachelY 7323 2.57708772 -1.40287914 147.656250 -80.379054
    Oben rechts KachelX + 1 7457 KachelY 7323 2.57785471 -1.40287914 147.700195 -80.379054
    Unten links KachelX 7456 KachelY + 1 7324 2.57708772 -1.40300728 147.656250 -80.386396
    Unten rechts KachelX + 1 7457 KachelY + 1 7324 2.57785471 -1.40300728 147.700195 -80.386396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40287914--1.40300728) × R
    0.000128139999999943 × 6371000     		dl = 816.379939999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40287914--1.40300728) × R
    0.000128139999999943 × 6371000     		dr = 816.379939999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57708772-2.57785471) × cos(-1.40287914) × R
    0.000766989999999801 × 0.167129194618173 × 6371000     		do = 816.675688064594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57708772-2.57785471) × cos(-1.40300728) × R
    0.000766989999999801 × 0.167002855534975 × 6371000     		du = 816.058332982281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40287914)-sin(-1.40300728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167129194618173-0.167002855534975)×R²
    abs(2.57785471-2.57708772)×0.000126339083198285×R²
    0.000766989999999801×0.000126339083198285×6371000²
    0.000766989999999801×0.000126339083198285×40589641000000     		ar = 666465.651979198m²