Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7456 / 5409
↖ ↑ ↗
← N 76.098157°
W 98.085938°		 ← 293.51 m → N 76.098157°
W 98.074951°		 →
↑
293.51 m
↓
↑
293.51 m
↓
N 76.095517°
W 98.085938°		 ← 293.56 m →
86 157 m²		 N 76.095517°
W 98.074951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227554321289062 y=0.165084838867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227554321289062 × 215)
    floor (0.227554321289062 × 32768)
    floor (7456.5)     		tx = 7456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165084838867188 × 215)
    floor (0.165084838867188 × 32768)
    floor (5409.5)     		ty = 5409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7456 / 5409 ti = "15/7456/5409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7456/5409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7456 ÷ 215
    7456 ÷ 32768     		x = 0.2275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5409 ÷ 215
    5409 ÷ 32768     		y = 0.165069580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2275390625 × 2 - 1) × π
    -0.544921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71192256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165069580078125 × 2 - 1) × π
    0.66986083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10442989332047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71192256} λ = -1.71192256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10442989332047))-π/2
    2×atan(8.20242541883997)-π/2
    2×1.44947985834841-π/2
    2.89895971669682-1.57079632675     		φ = 1.32816339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71192256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.085938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32816339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.098157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7456 KachelY 5409 -1.71192256 1.32816339 -98.085938 76.098157
    Oben rechts KachelX + 1 7457 KachelY 5409 -1.71173081 1.32816339 -98.074951 76.098157
    Unten links KachelX 7456 KachelY + 1 5410 -1.71192256 1.32811732 -98.085938 76.095517
    Unten rechts KachelX + 1 7457 KachelY + 1 5410 -1.71173081 1.32811732 -98.074951 76.095517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32816339-1.32811732) × R
    4.60700000000092e-05 × 6371000     		dl = 293.511970000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32816339-1.32811732) × R
    4.60700000000092e-05 × 6371000     		dr = 293.511970000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71192256--1.71173081) × cos(1.32816339) × R
    0.000191750000000157 × 0.240259271047362 × 6371000     		do = 293.510155688086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71192256--1.71173081) × cos(1.32811732) × R
    0.000191750000000157 × 0.240303991344617 × 6371000     		du = 293.564787758485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32816339)-sin(1.32811732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240259271047362-0.240303991344617)×R²
    abs(-1.71173081--1.71192256)×4.47202972551075e-05×R²
    0.000191750000000157×4.47202972551075e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.47202972551075e-05×40589641000000     		ar = 86156.7616097553m²