Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7456 / 4456
↖ ↑ ↗
← N 63.154355°
W 16.171875°		 ← 1 103.33 m → N 63.154355°
W 16.149902°		 →
↑
1 103.58 m
↓
↑
1 103.58 m
↓
N 63.144431°
W 16.171875°		 ← 1 103.71 m →
1 217 824 m²		 N 63.144431°
W 16.149902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455108642578125 y=0.272003173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455108642578125 × 214)
    floor (0.455108642578125 × 16384)
    floor (7456.5)     		tx = 7456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272003173828125 × 214)
    floor (0.272003173828125 × 16384)
    floor (4456.5)     		ty = 4456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7456 / 4456 ti = "14/7456/4456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7456/4456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7456 ÷ 214
    7456 ÷ 16384     		x = 0.455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4456 ÷ 214
    4456 ÷ 16384     		y = 0.27197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455078125 × 2 - 1) × π
    -0.08984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28225246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27197265625 × 2 - 1) × π
    0.4560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43273805584424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28225246} λ = -0.28225246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43273805584424))-π/2
    2×atan(4.19015638172192)-π/2
    2×1.33652388096546-π/2
    2.67304776193092-1.57079632675     		φ = 1.10225144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28225246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.171875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10225144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.154355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7456 KachelY 4456 -0.28225246 1.10225144 -16.171875 63.154355
    Oben rechts KachelX + 1 7457 KachelY 4456 -0.28186897 1.10225144 -16.149902 63.154355
    Unten links KachelX 7456 KachelY + 1 4457 -0.28225246 1.10207822 -16.171875 63.144431
    Unten rechts KachelX + 1 7457 KachelY + 1 4457 -0.28186897 1.10207822 -16.149902 63.144431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10225144-1.10207822) × R
    0.000173219999999974 × 6371000     		dl = 1103.58461999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10225144-1.10207822) × R
    0.000173219999999974 × 6371000     		dr = 1103.58461999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28225246--0.28186897) × cos(1.10225144) × R
    0.000383489999999986 × 0.451588473587174 × 6371000     		do = 1103.32763766167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28225246--0.28186897) × cos(1.10207822) × R
    0.000383489999999986 × 0.451743018258869 × 6371000     		du = 1103.70522348927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10225144)-sin(1.10207822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451588473587174-0.451743018258869)×R²
    abs(-0.28186897--0.28225246)×0.000154544671695622×R²
    0.000383489999999986×0.000154544671695622×6371000²
    0.000383489999999986×0.000154544671695622×40589641000000     		ar = 1217823.76374623m²