Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74557 / 76515
↖ ↑ ↗
← S 28.851891°
E 24.776916°		 ← 267.51 m → S 28.851891°
E 24.779663°		 →
↑
267.52 m
↓
↑
267.52 m
↓
S 28.854297°
E 24.776916°		 ← 267.51 m →
71 564 m²		 S 28.854297°
E 24.779663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568828582763672 y=0.583766937255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568828582763672 × 217)
    floor (0.568828582763672 × 131072)
    floor (74557.5)     		tx = 74557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583766937255859 × 217)
    floor (0.583766937255859 × 131072)
    floor (76515.5)     		ty = 76515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74557 / 76515 ti = "17/74557/76515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74557/76515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74557 ÷ 217
    74557 ÷ 131072     		x = 0.568824768066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76515 ÷ 217
    76515 ÷ 131072     		y = 0.583763122558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568824768066406 × 2 - 1) × π
    0.137649536132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.43243877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583763122558594 × 2 - 1) × π
    -0.167526245117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.526299220928596
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43243877} λ = 0.43243877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.526299220928596))-π/2
    2×atan(0.590787302306197)-π/2
    2×0.533617917783185-π/2
    1.06723583556637-1.57079632675     		φ = -0.50356049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43243877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.776916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50356049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.851891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74557 KachelY 76515 0.43243877 -0.50356049 24.776916 -28.851891
    Oben rechts KachelX + 1 74558 KachelY 76515 0.43248671 -0.50356049 24.779663 -28.851891
    Unten links KachelX 74557 KachelY + 1 76516 0.43243877 -0.50360248 24.776916 -28.854297
    Unten rechts KachelX + 1 74558 KachelY + 1 76516 0.43248671 -0.50360248 24.779663 -28.854297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50356049--0.50360248) × R
    4.19899999999362e-05 × 6371000     		dl = 267.518289999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50356049--0.50360248) × R
    4.19899999999362e-05 × 6371000     		dr = 267.518289999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43243877-0.43248671) × cos(-0.50356049) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875870013070774 × 6371000     		do = 267.513246886085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43243877-0.43248671) × cos(-0.50360248) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875849750145184 × 6371000     		du = 267.507058067042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50356049)-sin(-0.50360248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875870013070774-0.875849750145184)×R²
    abs(0.43248671-0.43243877)×2.02629255898756e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02629255898756e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02629255898756e-05×40589641000000     		ar = 71563.8585586252m²