Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74556 / 76500
↖ ↑ ↗
← S 28.815800°
E 24.774170°		 ← 267.61 m → S 28.815800°
E 24.776916°		 →
↑
267.65 m
↓
↑
267.65 m
↓
S 28.818207°
E 24.774170°		 ← 267.60 m →
71 623 m²		 S 28.818207°
E 24.776916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568820953369141 y=0.583652496337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568820953369141 × 217)
    floor (0.568820953369141 × 131072)
    floor (74556.5)     		tx = 74556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583652496337891 × 217)
    floor (0.583652496337891 × 131072)
    floor (76500.5)     		ty = 76500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74556 / 76500 ti = "17/74556/76500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74556/76500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74556 ÷ 217
    74556 ÷ 131072     		x = 0.568817138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76500 ÷ 217
    76500 ÷ 131072     		y = 0.583648681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568817138671875 × 2 - 1) × π
    0.13763427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43239083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583648681640625 × 2 - 1) × π
    -0.16729736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.525580167434296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43239083} λ = 0.43239083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.525580167434296))-π/2
    2×atan(0.591212262746644)-π/2
    2×0.533932871096524-π/2
    1.06786574219305-1.57079632675     		φ = -0.50293058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43239083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.774170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50293058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.815800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74556 KachelY 76500 0.43239083 -0.50293058 24.774170 -28.815800
    Oben rechts KachelX + 1 74557 KachelY 76500 0.43243877 -0.50293058 24.776916 -28.815800
    Unten links KachelX 74556 KachelY + 1 76501 0.43239083 -0.50297259 24.774170 -28.818207
    Unten rechts KachelX + 1 74557 KachelY + 1 76501 0.43243877 -0.50297259 24.776916 -28.818207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50293058--0.50297259) × R
    4.20100000000367e-05 × 6371000     		dl = 267.645710000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50293058--0.50297259) × R
    4.20100000000367e-05 × 6371000     		dr = 267.645710000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43239083-0.43243877) × cos(-0.50293058) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.876173800538453 × 6371000     		do = 267.606031397894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43239083-0.43243877) × cos(-0.50297259) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.876153551142664 × 6371000     		du = 267.599846711201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50293058)-sin(-0.50297259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876173800538453-0.876153551142664)×R²
    abs(0.43243877-0.43239083)×2.02493957887073e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02493957887073e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02493957887073e-05×40589641000000     		ar = 71622.778631885m²