Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74555 / 53934
↖ ↑ ↗
← N 30.339695°
E 24.771423°		 ← 263.54 m → N 30.339695°
E 24.774170°		 →
↑
263.57 m
↓
↑
263.57 m
↓
N 30.337325°
E 24.771423°		 ← 263.55 m →
69 462 m²		 N 30.337325°
E 24.774170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568813323974609 y=0.411487579345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568813323974609 × 217)
    floor (0.568813323974609 × 131072)
    floor (74555.5)     		tx = 74555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411487579345703 × 217)
    floor (0.411487579345703 × 131072)
    floor (53934.5)     		ty = 53934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74555 / 53934 ti = "17/74555/53934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74555/53934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74555 ÷ 217
    74555 ÷ 131072     		x = 0.568809509277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53934 ÷ 217
    53934 ÷ 131072     		y = 0.411483764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568809509277344 × 2 - 1) × π
    0.137619018554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.43234290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411483764648438 × 2 - 1) × π
    0.177032470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.556163909391892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43234290} λ = 0.43234290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.556163909391892))-π/2
    2×atan(1.74396962659499)-π/2
    2×1.05016194797307-π/2
    2.10032389594614-1.57079632675     		φ = 0.52952757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43234290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.771423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52952757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.339695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74555 KachelY 53934 0.43234290 0.52952757 24.771423 30.339695
    Oben rechts KachelX + 1 74556 KachelY 53934 0.43239083 0.52952757 24.774170 30.339695
    Unten links KachelX 74555 KachelY + 1 53935 0.43234290 0.52948620 24.771423 30.337325
    Unten rechts KachelX + 1 74556 KachelY + 1 53935 0.43239083 0.52948620 24.774170 30.337325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52952757-0.52948620) × R
    4.13699999999295e-05 × 6371000     		dl = 263.568269999551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52952757-0.52948620) × R
    4.13699999999295e-05 × 6371000     		dr = 263.568269999551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43234290-0.43239083) × cos(0.52952757) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.863045803337264 × 6371000     		do = 263.541418490209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43234290-0.43239083) × cos(0.52948620) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.863066699647637 × 6371000     		du = 263.547799429964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52952757)-sin(0.52948620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863045803337264-0.863066699647637)×R²
    abs(0.43239083-0.43234290)×2.08963103732751e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.08963103732751e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.08963103732751e-05×40589641000000     		ar = 69461.9966610964m²