Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74554 / 53527
↖ ↑ ↗
← N 31.299675°
E 24.768677°		 ← 260.97 m → N 31.299675°
E 24.771423°		 →
↑
260.96 m
↓
↑
260.96 m
↓
N 31.297328°
E 24.768677°		 ← 260.98 m →
68 104 m²		 N 31.297328°
E 24.771423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568805694580078 y=0.408382415771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568805694580078 × 217)
    floor (0.568805694580078 × 131072)
    floor (74554.5)     		tx = 74554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408382415771484 × 217)
    floor (0.408382415771484 × 131072)
    floor (53527.5)     		ty = 53527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74554 / 53527 ti = "17/74554/53527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74554/53527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74554 ÷ 217
    74554 ÷ 131072     		x = 0.568801879882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53527 ÷ 217
    53527 ÷ 131072     		y = 0.408378601074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568801879882812 × 2 - 1) × π
    0.137603759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43229496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408378601074219 × 2 - 1) × π
    0.183242797851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.575674227537254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43229496} λ = 0.43229496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.575674227537254))-π/2
    2×atan(1.77832912126983)-π/2
    2×1.05853935403297-π/2
    2.11707870806594-1.57079632675     		φ = 0.54628238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43229496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.768677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54628238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.299675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74554 KachelY 53527 0.43229496 0.54628238 24.768677 31.299675
    Oben rechts KachelX + 1 74555 KachelY 53527 0.43234290 0.54628238 24.771423 31.299675
    Unten links KachelX 74554 KachelY + 1 53528 0.43229496 0.54624142 24.768677 31.297328
    Unten rechts KachelX + 1 74555 KachelY + 1 53528 0.43234290 0.54624142 24.771423 31.297328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54628238-0.54624142) × R
    4.09599999999788e-05 × 6371000     		dl = 260.956159999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54628238-0.54624142) × R
    4.09599999999788e-05 × 6371000     		dr = 260.956159999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43229496-0.43234290) × cos(0.54628238) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.854461778844181 × 6371000     		do = 260.974621105029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43229496-0.43234290) × cos(0.54624142) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.854483057431574 × 6371000     		du = 260.98112013333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54628238)-sin(0.54624142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854461778844181-0.854483057431574)×R²
    abs(0.43234290-0.43229496)×2.12785873938692e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12785873938692e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12785873938692e-05×40589641000000     		ar = 68103.7829711201m²