Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74553 / 53305
↖ ↑ ↗
← N 31.819231°
E 24.765930°		 ← 259.53 m → N 31.819231°
E 24.768677°		 →
↑
259.49 m
↓
↑
259.49 m
↓
N 31.816897°
E 24.765930°		 ← 259.53 m →
67 345 m²		 N 31.816897°
E 24.768677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568798065185547 y=0.406688690185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568798065185547 × 217)
    floor (0.568798065185547 × 131072)
    floor (74553.5)     		tx = 74553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406688690185547 × 217)
    floor (0.406688690185547 × 131072)
    floor (53305.5)     		ty = 53305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74553 / 53305 ti = "17/74553/53305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74553/53305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74553 ÷ 217
    74553 ÷ 131072     		x = 0.568794250488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53305 ÷ 217
    53305 ÷ 131072     		y = 0.406684875488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568794250488281 × 2 - 1) × π
    0.137588500976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.43224702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406684875488281 × 2 - 1) × π
    0.186630249023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.586316219252907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43224702} λ = 0.43224702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586316219252907))-π/2
    2×atan(1.79735514286731)-π/2
    2×1.06307333423831-π/2
    2.12614666847662-1.57079632675     		φ = 0.55535034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43224702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.765930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55535034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.819231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74553 KachelY 53305 0.43224702 0.55535034 24.765930 31.819231
    Oben rechts KachelX + 1 74554 KachelY 53305 0.43229496 0.55535034 24.768677 31.819231
    Unten links KachelX 74553 KachelY + 1 53306 0.43224702 0.55530961 24.765930 31.816897
    Unten rechts KachelX + 1 74554 KachelY + 1 53306 0.43229496 0.55530961 24.768677 31.816897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55535034-0.55530961) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dl = 259.490830000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55535034-0.55530961) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dr = 259.490830000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43224702-0.43229496) × cos(0.55535034) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.849715778800226 × 6371000     		do = 259.525070529866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43224702-0.43229496) × cos(0.55530961) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.849737252622235 × 6371000     		du = 259.531629187843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55535034)-sin(0.55530961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849715778800226-0.849737252622235)×R²
    abs(0.43229496-0.43224702)×2.14738220085664e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14738220085664e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14738220085664e-05×40589641000000     		ar = 67345.2269226035m²