Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74552 / 77576
↖ ↑ ↗
← S 31.372399°
E 24.763184°		 ← 260.72 m → S 31.372399°
E 24.765930°		 →
↑
260.77 m
↓
↑
260.77 m
↓
S 31.374744°
E 24.763184°		 ← 260.71 m →
67 985 m²		 S 31.374744°
E 24.765930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568790435791016 y=0.591861724853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568790435791016 × 217)
    floor (0.568790435791016 × 131072)
    floor (74552.5)     		tx = 74552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591861724853516 × 217)
    floor (0.591861724853516 × 131072)
    floor (77576.5)     		ty = 77576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74552 / 77576 ti = "17/74552/77576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74552/77576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74552 ÷ 217
    74552 ÷ 131072     		x = 0.56878662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77576 ÷ 217
    77576 ÷ 131072     		y = 0.59185791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56878662109375 × 2 - 1) × π
    0.1375732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43219909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59185791015625 × 2 - 1) × π
    -0.1837158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.577160271425476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43219909} λ = 0.43219909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.577160271425476))-π/2
    2×atan(0.561490585620762)-π/2
    2×0.511622334089547-π/2
    1.02324466817909-1.57079632675     		φ = -0.54755166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43219909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.763184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54755166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.372399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74552 KachelY 77576 0.43219909 -0.54755166 24.763184 -31.372399
    Oben rechts KachelX + 1 74553 KachelY 77576 0.43224702 -0.54755166 24.765930 -31.372399
    Unten links KachelX 74552 KachelY + 1 77577 0.43219909 -0.54759259 24.763184 -31.374744
    Unten rechts KachelX + 1 74553 KachelY + 1 77577 0.43224702 -0.54759259 24.765930 -31.374744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54755166--0.54759259) × R
    4.09300000000501e-05 × 6371000     		dl = 260.765030000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54755166--0.54759259) × R
    4.09300000000501e-05 × 6371000     		dr = 260.765030000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43219909-0.43224702) × cos(-0.54755166) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.853801681659168 × 6371000     		do = 260.718614728715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43219909-0.43224702) × cos(-0.54759259) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.853780372851714 × 6371000     		du = 260.712107828014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54755166)-sin(-0.54759259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853801681659168-0.853780372851714)×R²
    abs(0.43224702-0.43219909)×2.13088074544343e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.13088074544343e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.13088074544343e-05×40589641000000     		ar = 67985.4490146994m²