Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74551 / 76471
↖ ↑ ↗
← S 28.745989°
E 24.760437°		 ← 267.79 m → S 28.745989°
E 24.763184°		 →
↑
267.71 m
↓
↑
267.71 m
↓
S 28.748396°
E 24.760437°		 ← 267.78 m →
71 688 m²		 S 28.748396°
E 24.763184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568782806396484 y=0.583431243896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568782806396484 × 217)
    floor (0.568782806396484 × 131072)
    floor (74551.5)     		tx = 74551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583431243896484 × 217)
    floor (0.583431243896484 × 131072)
    floor (76471.5)     		ty = 76471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74551 / 76471 ti = "17/74551/76471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74551/76471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74551 ÷ 217
    74551 ÷ 131072     		x = 0.568778991699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76471 ÷ 217
    76471 ÷ 131072     		y = 0.583427429199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568778991699219 × 2 - 1) × π
    0.137557983398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.43215115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583427429199219 × 2 - 1) × π
    -0.166854858398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.524189997345314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43215115} λ = 0.43215115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.524189997345314))-π/2
    2×atan(0.592034719895763)-π/2
    2×0.534542090331989-π/2
    1.06908418066398-1.57079632675     		φ = -0.50171215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43215115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.760437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50171215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.745989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74551 KachelY 76471 0.43215115 -0.50171215 24.760437 -28.745989
    Oben rechts KachelX + 1 74552 KachelY 76471 0.43219909 -0.50171215 24.763184 -28.745989
    Unten links KachelX 74551 KachelY + 1 76472 0.43215115 -0.50175417 24.760437 -28.748396
    Unten rechts KachelX + 1 74552 KachelY + 1 76472 0.43219909 -0.50175417 24.763184 -28.748396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50171215--0.50175417) × R
    4.2019999999976e-05 × 6371000     		dl = 267.709419999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50171215--0.50175417) × R
    4.2019999999976e-05 × 6371000     		dr = 267.709419999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43215115-0.43219909) × cos(-0.50171215) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876760427557768 × 6371000     		do = 267.785202389682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43215115-0.43219909) × cos(-0.50175417) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876740218214884 × 6371000     		du = 267.779029936177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50171215)-sin(-0.50175417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876760427557768-0.876740218214884)×R²
    abs(0.43219909-0.43215115)×2.02093428832706e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02093428832706e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02093428832706e-05×40589641000000     		ar = 71687.7950147818m²