Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74551 / 56283
↖ ↑ ↗
← N 24.619554°
E 24.760437°		 ← 277.66 m → N 24.619554°
E 24.763184°		 →
↑
277.65 m
↓
↑
277.65 m
↓
N 24.617057°
E 24.760437°		 ← 277.67 m →
77 093 m²		 N 24.617057°
E 24.763184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568782806396484 y=0.429409027099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568782806396484 × 217)
    floor (0.568782806396484 × 131072)
    floor (74551.5)     		tx = 74551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429409027099609 × 217)
    floor (0.429409027099609 × 131072)
    floor (56283.5)     		ty = 56283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74551 / 56283 ti = "17/74551/56283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74551/56283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74551 ÷ 217
    74551 ÷ 131072     		x = 0.568778991699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56283 ÷ 217
    56283 ÷ 131072     		y = 0.429405212402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568778991699219 × 2 - 1) × π
    0.137557983398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.43215115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429405212402344 × 2 - 1) × π
    0.141189575195312 × 3.1415926535     		Φ = 0.44356013218438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43215115} λ = 0.43215115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.44356013218438))-π/2
    2×atan(1.55824491306621)-π/2
    2×1.00024430455749-π/2
    2.00048860911498-1.57079632675     		φ = 0.42969228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43215115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.760437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42969228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.619554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74551 KachelY 56283 0.43215115 0.42969228 24.760437 24.619554
    Oben rechts KachelX + 1 74552 KachelY 56283 0.43219909 0.42969228 24.763184 24.619554
    Unten links KachelX 74551 KachelY + 1 56284 0.43215115 0.42964870 24.760437 24.617057
    Unten rechts KachelX + 1 74552 KachelY + 1 56284 0.43219909 0.42964870 24.763184 24.617057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42969228-0.42964870) × R
    4.35799999999875e-05 × 6371000     		dl = 277.648179999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42969228-0.42964870) × R
    4.35799999999875e-05 × 6371000     		dr = 277.648179999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43215115-0.43219909) × cos(0.42969228) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.909093986120475 × 6371000     		do = 277.660703440535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43215115-0.43219909) × cos(0.42964870) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.909112140296267 × 6371000     		du = 277.666248193111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42969228)-sin(0.42964870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909093986120475-0.909112140296267)×R²
    abs(0.43219909-0.43215115)×1.81541757925396e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.81541757925396e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.81541757925396e-05×40589641000000     		ar = 77092.7587251891m²