Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74551 / 53961
↖ ↑ ↗
← N 30.275673°
E 24.760437°		 ← 263.77 m → N 30.275673°
E 24.763184°		 →
↑
263.76 m
↓
↑
263.76 m
↓
N 30.273301°
E 24.760437°		 ← 263.78 m →
69 572 m²		 N 30.273301°
E 24.763184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568782806396484 y=0.411693572998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568782806396484 × 217)
    floor (0.568782806396484 × 131072)
    floor (74551.5)     		tx = 74551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411693572998047 × 217)
    floor (0.411693572998047 × 131072)
    floor (53961.5)     		ty = 53961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74551 / 53961 ti = "17/74551/53961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74551/53961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74551 ÷ 217
    74551 ÷ 131072     		x = 0.568778991699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53961 ÷ 217
    53961 ÷ 131072     		y = 0.411689758300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568778991699219 × 2 - 1) × π
    0.137557983398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.43215115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411689758300781 × 2 - 1) × π
    0.176620483398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.55486961310215
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43215115} λ = 0.43215115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.55486961310215))-π/2
    2×atan(1.74171387329933)-π/2
    2×1.04960324698393-π/2
    2.09920649396786-1.57079632675     		φ = 0.52841017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43215115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.760437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52841017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.275673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74551 KachelY 53961 0.43215115 0.52841017 24.760437 30.275673
    Oben rechts KachelX + 1 74552 KachelY 53961 0.43219909 0.52841017 24.763184 30.275673
    Unten links KachelX 74551 KachelY + 1 53962 0.43215115 0.52836877 24.760437 30.273301
    Unten rechts KachelX + 1 74552 KachelY + 1 53962 0.43219909 0.52836877 24.763184 30.273301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52841017-0.52836877) × R
    4.13999999999692e-05 × 6371000     		dl = 263.759399999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52841017-0.52836877) × R
    4.13999999999692e-05 × 6371000     		dr = 263.759399999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43215115-0.43219909) × cos(0.52841017) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.863609691850194 × 6371000     		do = 263.76862920465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43215115-0.43219909) × cos(0.52836877) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.863630563374926 × 6371000     		du = 263.775003905536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52841017)-sin(0.52836877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863609691850194-0.863630563374926)×R²
    abs(0.43219909-0.43215115)×2.0871524732069e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.0871524732069e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.0871524732069e-05×40589641000000     		ar = 69572.2960813796m²