Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74550 / 76947
↖ ↑ ↗
← S 29.885900°
E 24.757690°		 ← 264.81 m → S 29.885900°
E 24.760437°		 →
↑
264.78 m
↓
↑
264.78 m
↓
S 29.888281°
E 24.757690°		 ← 264.80 m →
70 115 m²		 S 29.888281°
E 24.760437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568775177001953 y=0.587062835693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568775177001953 × 217)
    floor (0.568775177001953 × 131072)
    floor (74550.5)     		tx = 74550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587062835693359 × 217)
    floor (0.587062835693359 × 131072)
    floor (76947.5)     		ty = 76947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74550 / 76947 ti = "17/74550/76947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74550/76947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74550 ÷ 217
    74550 ÷ 131072     		x = 0.568771362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76947 ÷ 217
    76947 ÷ 131072     		y = 0.587059020996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568771362304688 × 2 - 1) × π
    0.137542724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43210321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587059020996094 × 2 - 1) × π
    -0.174118041992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.547007961564461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43210321} λ = 0.43210321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.547007961564461))-π/2
    2×atan(0.578678651478271)-π/2
    2×0.524594489244662-π/2
    1.04918897848932-1.57079632675     		φ = -0.52160735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43210321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.757690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52160735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.885900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74550 KachelY 76947 0.43210321 -0.52160735 24.757690 -29.885900
    Oben rechts KachelX + 1 74551 KachelY 76947 0.43215115 -0.52160735 24.760437 -29.885900
    Unten links KachelX 74550 KachelY + 1 76948 0.43210321 -0.52164891 24.757690 -29.888281
    Unten rechts KachelX + 1 74551 KachelY + 1 76948 0.43215115 -0.52164891 24.760437 -29.888281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52160735--0.52164891) × R
    4.1559999999996e-05 × 6371000     		dl = 264.778759999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52160735--0.52164891) × R
    4.1559999999996e-05 × 6371000     		dr = 264.778759999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43210321-0.43215115) × cos(-0.52160735) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.867019398694683 × 6371000     		do = 264.810041440505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43210321-0.43215115) × cos(-0.52164891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.866998689662495 × 6371000     		du = 264.803716369024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52160735)-sin(-0.52164891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867019398694683-0.866998689662495)×R²
    abs(0.43215115-0.43210321)×2.07090321879821e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.07090321879821e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.07090321879821e-05×40589641000000     		ar = 70115.2370460216m²