Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7455 / 7337
↖ ↑ ↗
← S 80.481335°
E147.612305°		 ← 808.07 m → S 80.481335°
E147.656250°		 →
↑
807.72 m
↓
↑
807.72 m
↓
S 80.488599°
E147.612305°		 ← 807.46 m →
652 447 m²		 S 80.488599°
E147.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91009521484375 y=0.89569091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91009521484375 × 213)
    floor (0.91009521484375 × 8192)
    floor (7455.5)     		tx = 7455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89569091796875 × 213)
    floor (0.89569091796875 × 8192)
    floor (7337.5)     		ty = 7337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7455 / 7337 ti = "13/7455/7337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7455/7337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7455 ÷ 213
    7455 ÷ 8192     		x = 0.9100341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7337 ÷ 213
    7337 ÷ 8192     		y = 0.8956298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9100341796875 × 2 - 1) × π
    0.820068359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57632073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8956298828125 × 2 - 1) × π
    -0.791259765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.48581586669763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57632073} λ = 2.57632073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48581586669763))-π/2
    2×atan(0.0832575996919017)-π/2
    2×0.0830660200767283-π/2
    0.166132040153457-1.57079632675     		φ = -1.40466429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57632073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.612305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40466429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.481335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7455 KachelY 7337 2.57632073 -1.40466429 147.612305 -80.481335
    Oben rechts KachelX + 1 7456 KachelY 7337 2.57708772 -1.40466429 147.656250 -80.481335
    Unten links KachelX 7455 KachelY + 1 7338 2.57632073 -1.40479107 147.612305 -80.488599
    Unten rechts KachelX + 1 7456 KachelY + 1 7338 2.57708772 -1.40479107 147.656250 -80.488599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40466429--1.40479107) × R
    0.000126779999999993 × 6371000     		dl = 807.715379999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40466429--1.40479107) × R
    0.000126779999999993 × 6371000     		dr = 807.715379999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57632073-2.57708772) × cos(-1.40466429) × R
    0.000766990000000245 × 0.165368887380123 × 6371000     		do = 808.073958557995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57632073-2.57708772) × cos(-1.40479107) × R
    0.000766990000000245 × 0.165243851585926 × 6371000     		du = 807.462971988639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40466429)-sin(-1.40479107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165368887380123-0.165243851585926)×R²
    abs(2.57708772-2.57632073)×0.000125035794197509×R²
    0.000766990000000245×0.000125035794197509×6371000²
    0.000766990000000245×0.000125035794197509×40589641000000     		ar = 652447.013752321m²