Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7455 / 2841
↖ ↑ ↗
← N 81.477666°
W 98.096924°		 ← 181.04 m → N 81.477666°
W 98.085938°		 →
↑
181.06 m
↓
↑
181.06 m
↓
N 81.476037°
W 98.096924°		 ← 181.08 m →
32 783 m²		 N 81.476037°
W 98.085938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227523803710938 y=0.0867156982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227523803710938 × 215)
    floor (0.227523803710938 × 32768)
    floor (7455.5)     		tx = 7455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0867156982421875 × 215)
    floor (0.0867156982421875 × 32768)
    floor (2841.5)     		ty = 2841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7455 / 2841 ti = "15/7455/2841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7455/2841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7455 ÷ 215
    7455 ÷ 32768     		x = 0.227508544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2841 ÷ 215
    2841 ÷ 32768     		y = 0.086700439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227508544921875 × 2 - 1) × π
    -0.54498291015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.71211431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.086700439453125 × 2 - 1) × π
    0.82659912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.59683772621768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71211431} λ = -1.71211431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59683772621768))-π/2
    2×atan(13.4212292568229)-π/2
    2×1.49642492616161-π/2
    2.99284985232321-1.57079632675     		φ = 1.42205353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71211431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.096924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42205353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.477666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7455 KachelY 2841 -1.71211431 1.42205353 -98.096924 81.477666
    Oben rechts KachelX + 1 7456 KachelY 2841 -1.71192256 1.42205353 -98.085938 81.477666
    Unten links KachelX 7455 KachelY + 1 2842 -1.71211431 1.42202511 -98.096924 81.476037
    Unten rechts KachelX + 1 7456 KachelY + 1 2842 -1.71192256 1.42202511 -98.085938 81.476037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42205353-1.42202511) × R
    2.84199999998069e-05 × 6371000     		dl = 181.06381999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42205353-1.42202511) × R
    2.84199999998069e-05 × 6371000     		dr = 181.06381999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71211431--1.71192256) × cos(1.42205353) × R
    0.000191749999999935 × 0.148194928534822 × 6371000     		do = 181.040741349023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71211431--1.71192256) × cos(1.42202511) × R
    0.000191749999999935 × 0.148223034666178 × 6371000     		du = 181.075076902252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42205353)-sin(1.42202511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148194928534822-0.148223034666178)×R²
    abs(-1.71192256--1.71211431)×2.81061313556485e-05×R²
    0.000191749999999935×2.81061313556485e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.81061313556485e-05×40589641000000     		ar = 32783.0366698148m²