Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7455 / 10661
↖ ↑ ↗
← S 47.591346°
W 16.193848°		 ← 1 647.78 m → S 47.591346°
W 16.171875°		 →
↑
1 647.54 m
↓
↑
1 647.54 m
↓
S 47.606163°
W 16.193848°		 ← 1 647.31 m →
2 714 402 m²		 S 47.606163°
W 16.171875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455047607421875 y=0.650726318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455047607421875 × 214)
    floor (0.455047607421875 × 16384)
    floor (7455.5)     		tx = 7455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650726318359375 × 214)
    floor (0.650726318359375 × 16384)
    floor (10661.5)     		ty = 10661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7455 / 10661 ti = "14/7455/10661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7455/10661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7455 ÷ 214
    7455 ÷ 16384     		x = 0.45501708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10661 ÷ 214
    10661 ÷ 16384     		y = 0.65069580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45501708984375 × 2 - 1) × π
    -0.0899658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28263596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65069580078125 × 2 - 1) × π
    -0.3013916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.946849641295349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28263596} λ = -0.28263596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946849641295349))-π/2
    2×atan(0.387961317577032)-π/2
    2×0.370085317667818-π/2
    0.740170635335636-1.57079632675     		φ = -0.83062569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28263596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.193848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83062569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.591346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7455 KachelY 10661 -0.28263596 -0.83062569 -16.193848 -47.591346
    Oben rechts KachelX + 1 7456 KachelY 10661 -0.28225246 -0.83062569 -16.171875 -47.591346
    Unten links KachelX 7455 KachelY + 1 10662 -0.28263596 -0.83088429 -16.193848 -47.606163
    Unten rechts KachelX + 1 7456 KachelY + 1 10662 -0.28225246 -0.83088429 -16.171875 -47.606163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83062569--0.83088429) × R
    0.000258599999999998 × 6371000     		dl = 1647.54059999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83062569--0.83088429) × R
    0.000258599999999998 × 6371000     		dr = 1647.54059999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28263596--0.28225246) × cos(-0.83062569) × R
    0.000383500000000037 × 0.674413911718935 × 6371000     		do = 1647.78101060393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28263596--0.28225246) × cos(-0.83088429) × R
    0.000383500000000037 × 0.674222950958275 × 6371000     		du = 1647.31444028306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83062569)-sin(-0.83088429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674413911718935-0.674222950958275)×R²
    abs(-0.28225246--0.28263596)×0.000190960760659942×R²
    0.000383500000000037×0.000190960760659942×6371000²
    0.000383500000000037×0.000190960760659942×40589641000000     		ar = 2714401.78323123m²