Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74549 / 76946
↖ ↑ ↗
← S 29.883519°
E 24.754944°		 ← 264.76 m → S 29.883519°
E 24.757690°		 →
↑
264.78 m
↓
↑
264.78 m
↓
S 29.885900°
E 24.754944°		 ← 264.75 m →
70 102 m²		 S 29.885900°
E 24.757690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568767547607422 y=0.587055206298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568767547607422 × 217)
    floor (0.568767547607422 × 131072)
    floor (74549.5)     		tx = 74549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587055206298828 × 217)
    floor (0.587055206298828 × 131072)
    floor (76946.5)     		ty = 76946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74549 / 76946 ti = "17/74549/76946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74549/76946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74549 ÷ 217
    74549 ÷ 131072     		x = 0.568763732910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76946 ÷ 217
    76946 ÷ 131072     		y = 0.587051391601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568763732910156 × 2 - 1) × π
    0.137527465820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.43205528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587051391601562 × 2 - 1) × π
    -0.174102783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.546960024664841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43205528} λ = 0.43205528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.546960024664841))-π/2
    2×atan(0.578706392203596)-π/2
    2×0.524615270603807-π/2
    1.04923054120761-1.57079632675     		φ = -0.52156579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43205528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.754944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52156579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.883519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74549 KachelY 76946 0.43205528 -0.52156579 24.754944 -29.883519
    Oben rechts KachelX + 1 74550 KachelY 76946 0.43210321 -0.52156579 24.757690 -29.883519
    Unten links KachelX 74549 KachelY + 1 76947 0.43205528 -0.52160735 24.754944 -29.885900
    Unten rechts KachelX + 1 74550 KachelY + 1 76947 0.43210321 -0.52160735 24.757690 -29.885900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52156579--0.52160735) × R
    4.1559999999996e-05 × 6371000     		dl = 264.778759999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52156579--0.52160735) × R
    4.1559999999996e-05 × 6371000     		dr = 264.778759999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43205528-0.43210321) × cos(-0.52156579) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.867040106229326 × 6371000     		do = 264.761126929765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43205528-0.43210321) × cos(-0.52160735) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.867019398694683 × 6371000     		du = 264.75480363495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52156579)-sin(-0.52160735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867040106229326-0.867019398694683)×R²
    abs(0.43210321-0.43205528)×2.07075346428942e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.07075346428942e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.07075346428942e-05×40589641000000     		ar = 70102.2857576734m²