Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74549 / 76480
↖ ↑ ↗
← S 28.767659°
E 24.754944°		 ← 267.67 m → S 28.767659°
E 24.757690°		 →
↑
267.71 m
↓
↑
267.71 m
↓
S 28.770067°
E 24.754944°		 ← 267.67 m →
71 658 m²		 S 28.770067°
E 24.757690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568767547607422 y=0.583499908447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568767547607422 × 217)
    floor (0.568767547607422 × 131072)
    floor (74549.5)     		tx = 74549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583499908447266 × 217)
    floor (0.583499908447266 × 131072)
    floor (76480.5)     		ty = 76480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74549 / 76480 ti = "17/74549/76480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74549/76480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74549 ÷ 217
    74549 ÷ 131072     		x = 0.568763732910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76480 ÷ 217
    76480 ÷ 131072     		y = 0.58349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568763732910156 × 2 - 1) × π
    0.137527465820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.43205528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58349609375 × 2 - 1) × π
    -0.1669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.524621429441894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43205528} λ = 0.43205528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.524621429441894))-π/2
    2×atan(0.591779352206179)-π/2
    2×0.534352978661201-π/2
    1.0687059573224-1.57079632675     		φ = -0.50209037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43205528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.754944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50209037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.767659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74549 KachelY 76480 0.43205528 -0.50209037 24.754944 -28.767659
    Oben rechts KachelX + 1 74550 KachelY 76480 0.43210321 -0.50209037 24.757690 -28.767659
    Unten links KachelX 74549 KachelY + 1 76481 0.43205528 -0.50213239 24.754944 -28.770067
    Unten rechts KachelX + 1 74550 KachelY + 1 76481 0.43210321 -0.50213239 24.757690 -28.770067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50209037--0.50213239) × R
    4.2019999999976e-05 × 6371000     		dl = 267.709419999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50209037--0.50213239) × R
    4.2019999999976e-05 × 6371000     		dr = 267.709419999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43205528-0.43210321) × cos(-0.50209037) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.876578468494909 × 6371000     		do = 267.67378059406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43205528-0.43210321) × cos(-0.50213239) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.876558245219451 × 6371000     		du = 267.667605173613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50209037)-sin(-0.50213239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876578468494909-0.876558245219451)×R²
    abs(0.43210321-0.43205528)×2.02232754588083e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.02232754588083e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.02232754588083e-05×40589641000000     		ar = 71657.965953453m²