Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74549 / 56254
↖ ↑ ↗
← N 24.691943°
E 24.754944°		 ← 277.44 m → N 24.691943°
E 24.757690°		 →
↑
277.46 m
↓
↑
277.46 m
↓
N 24.689448°
E 24.754944°		 ← 277.45 m →
76 979 m²		 N 24.689448°
E 24.757690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568767547607422 y=0.429187774658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568767547607422 × 217)
    floor (0.568767547607422 × 131072)
    floor (74549.5)     		tx = 74549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429187774658203 × 217)
    floor (0.429187774658203 × 131072)
    floor (56254.5)     		ty = 56254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74549 / 56254 ti = "17/74549/56254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74549/56254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74549 ÷ 217
    74549 ÷ 131072     		x = 0.568763732910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56254 ÷ 217
    56254 ÷ 131072     		y = 0.429183959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568763732910156 × 2 - 1) × π
    0.137527465820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.43205528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429183959960938 × 2 - 1) × π
    0.141632080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.444950302273361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43205528} λ = 0.43205528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.444950302273361))-π/2
    2×atan(1.56041264494456)-π/2
    2×1.00087601908162-π/2
    2.00175203816324-1.57079632675     		φ = 0.43095571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43205528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.754944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43095571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.691943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74549 KachelY 56254 0.43205528 0.43095571 24.754944 24.691943
    Oben rechts KachelX + 1 74550 KachelY 56254 0.43210321 0.43095571 24.757690 24.691943
    Unten links KachelX 74549 KachelY + 1 56255 0.43205528 0.43091216 24.754944 24.689448
    Unten rechts KachelX + 1 74550 KachelY + 1 56255 0.43210321 0.43091216 24.757690 24.689448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43095571-0.43091216) × R
    4.35500000000033e-05 × 6371000     		dl = 277.457050000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43095571-0.43091216) × R
    4.35500000000033e-05 × 6371000     		dr = 277.457050000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43205528-0.43210321) × cos(0.43095571) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.90856692702468 × 6371000     		do = 277.441841227288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43205528-0.43210321) × cos(0.43091216) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.908585118710446 × 6371000     		du = 277.447396277383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43095571)-sin(0.43091216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90856692702468-0.908585118710446)×R²
    abs(0.43210321-0.43205528)×1.81916857664444e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81916857664444e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81916857664444e-05×40589641000000     		ar = 76978.9654696224m²