Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74548 / 76477
↖ ↑ ↗
← S 28.760436°
E 24.752197°		 ← 267.75 m → S 28.760436°
E 24.754944°		 →
↑
267.77 m
↓
↑
267.77 m
↓
S 28.762844°
E 24.752197°		 ← 267.74 m →
71 695 m²		 S 28.762844°
E 24.754944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568759918212891 y=0.583477020263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568759918212891 × 217)
    floor (0.568759918212891 × 131072)
    floor (74548.5)     		tx = 74548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583477020263672 × 217)
    floor (0.583477020263672 × 131072)
    floor (76477.5)     		ty = 76477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74548 / 76477 ti = "17/74548/76477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74548/76477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74548 ÷ 217
    74548 ÷ 131072     		x = 0.568756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76477 ÷ 217
    76477 ÷ 131072     		y = 0.583473205566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568756103515625 × 2 - 1) × π
    0.13751220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43200734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583473205566406 × 2 - 1) × π
    -0.166946411132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.524477618743034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43200734} λ = 0.43200734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.524477618743034))-π/2
    2×atan(0.591864462528132)-π/2
    2×0.534416011523365-π/2
    1.06883202304673-1.57079632675     		φ = -0.50196430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43200734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.752197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50196430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.760436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74548 KachelY 76477 0.43200734 -0.50196430 24.752197 -28.760436
    Oben rechts KachelX + 1 74549 KachelY 76477 0.43205528 -0.50196430 24.754944 -28.760436
    Unten links KachelX 74548 KachelY + 1 76478 0.43200734 -0.50200633 24.752197 -28.762844
    Unten rechts KachelX + 1 74549 KachelY + 1 76478 0.43205528 -0.50200633 24.754944 -28.762844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50196430--0.50200633) × R
    4.20299999999152e-05 × 6371000     		dl = 267.77312999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50196430--0.50200633) × R
    4.20299999999152e-05 × 6371000     		dr = 267.77312999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43200734-0.43205528) × cos(-0.50196430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.876639133846083 × 6371000     		do = 267.748156167723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43200734-0.43205528) × cos(-0.50200633) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.876618910402519 × 6371000     		du = 267.741979407508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50196430)-sin(-0.50200633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876639133846083-0.876618910402519)×R²
    abs(0.43205528-0.43200734)×2.02234435640047e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02234435640047e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02234435640047e-05×40589641000000     		ar = 71694.9348539733m²