Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74545 / 54960
↖ ↑ ↗
← N 27.877928°
E 24.743958°		 ← 269.98 m → N 27.877928°
E 24.746704°		 →
↑
270 m
↓
↑
270 m
↓
N 27.875500°
E 24.743958°		 ← 269.99 m →
72 896 m²		 N 27.875500°
E 24.746704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568737030029297 y=0.419315338134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568737030029297 × 217)
    floor (0.568737030029297 × 131072)
    floor (74545.5)     		tx = 74545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419315338134766 × 217)
    floor (0.419315338134766 × 131072)
    floor (54960.5)     		ty = 54960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74545 / 54960 ti = "17/74545/54960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74545/54960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74545 ÷ 217
    74545 ÷ 131072     		x = 0.568733215332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54960 ÷ 217
    54960 ÷ 131072     		y = 0.4193115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568733215332031 × 2 - 1) × π
    0.137466430664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.43186353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4193115234375 × 2 - 1) × π
    0.161376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.506980650381714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43186353} λ = 0.43186353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506980650381714))-π/2
    2×atan(1.66027068176848)-π/2
    2×1.02867898241991-π/2
    2.05735796483981-1.57079632675     		φ = 0.48656164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43186353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.743958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48656164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.877928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74545 KachelY 54960 0.43186353 0.48656164 24.743958 27.877928
    Oben rechts KachelX + 1 74546 KachelY 54960 0.43191147 0.48656164 24.746704 27.877928
    Unten links KachelX 74545 KachelY + 1 54961 0.43186353 0.48651926 24.743958 27.875500
    Unten rechts KachelX + 1 74546 KachelY + 1 54961 0.43191147 0.48651926 24.746704 27.875500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48656164-0.48651926) × R
    4.23800000000085e-05 × 6371000     		dl = 270.002980000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48656164-0.48651926) × R
    4.23800000000085e-05 × 6371000     		dr = 270.002980000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43186353-0.43191147) × cos(0.48656164) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.883945821045196 × 6371000     		do = 269.979806512772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43186353-0.43191147) × cos(0.48651926) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.883965636687362 × 6371000     		du = 269.985858719944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48656164)-sin(0.48651926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883945821045196-0.883965636687362)×R²
    abs(0.43191147-0.43186353)×1.98156421655771e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.98156421655771e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.98156421655771e-05×40589641000000     		ar = 72896.1693662684m²