Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74544 / 76932
↖ ↑ ↗
← S 29.850173°
E 24.741211°		 ← 264.90 m → S 29.850173°
E 24.743958°		 →
↑
264.91 m
↓
↑
264.91 m
↓
S 29.852555°
E 24.741211°		 ← 264.90 m →
70 174 m²		 S 29.852555°
E 24.743958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568729400634766 y=0.586948394775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568729400634766 × 217)
    floor (0.568729400634766 × 131072)
    floor (74544.5)     		tx = 74544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586948394775391 × 217)
    floor (0.586948394775391 × 131072)
    floor (76932.5)     		ty = 76932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74544 / 76932 ti = "17/74544/76932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74544/76932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74544 ÷ 217
    74544 ÷ 131072     		x = 0.5687255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76932 ÷ 217
    76932 ÷ 131072     		y = 0.586944580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5687255859375 × 2 - 1) × π
    0.137451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43181559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586944580078125 × 2 - 1) × π
    -0.17388916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.54628890807016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43181559} λ = 0.43181559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.54628890807016))-π/2
    2×atan(0.579094902019962)-π/2
    2×0.524906261737412-π/2
    1.04981252347482-1.57079632675     		φ = -0.52098380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43181559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.741211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52098380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.850173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74544 KachelY 76932 0.43181559 -0.52098380 24.741211 -29.850173
    Oben rechts KachelX + 1 74545 KachelY 76932 0.43186353 -0.52098380 24.743958 -29.850173
    Unten links KachelX 74544 KachelY + 1 76933 0.43181559 -0.52102538 24.741211 -29.852555
    Unten rechts KachelX + 1 74545 KachelY + 1 76933 0.43186353 -0.52102538 24.743958 -29.852555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52098380--0.52102538) × R
    4.15799999999855e-05 × 6371000     		dl = 264.906179999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52098380--0.52102538) × R
    4.15799999999855e-05 × 6371000     		dr = 264.906179999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43181559-0.43186353) × cos(-0.52098380) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.867329929112132 × 6371000     		do = 264.904885423047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43181559-0.43186353) × cos(-0.52102538) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.867309232596887 × 6371000     		du = 264.898564174563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52098380)-sin(-0.52102538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867329929112132-0.867309232596887)×R²
    abs(0.43186353-0.43181559)×2.06965152454996e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.06965152454996e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.06965152454996e-05×40589641000000     		ar = 70174.1040019457m²