Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74544 / 61745
↖ ↑ ↗
← N 10.355450°
E 24.741211°		 ← 300.45 m → N 10.355450°
E 24.743958°		 →
↑
300.46 m
↓
↑
300.46 m
↓
N 10.352747°
E 24.741211°		 ← 300.45 m →
90 273 m²		 N 10.352747°
E 24.743958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568729400634766 y=0.471080780029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568729400634766 × 217)
    floor (0.568729400634766 × 131072)
    floor (74544.5)     		tx = 74544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471080780029297 × 217)
    floor (0.471080780029297 × 131072)
    floor (61745.5)     		ty = 61745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74544 / 61745 ti = "17/74544/61745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74544/61745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74544 ÷ 217
    74544 ÷ 131072     		x = 0.5687255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61745 ÷ 217
    61745 ÷ 131072     		y = 0.471076965332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5687255859375 × 2 - 1) × π
    0.137451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43181559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471076965332031 × 2 - 1) × π
    0.0578460693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.181728786459633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43181559} λ = 0.43181559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.181728786459633))-π/2
    2×atan(1.19928888638316)-π/2
    2×0.875766508639162-π/2
    1.75153301727832-1.57079632675     		φ = 0.18073669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43181559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.741211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18073669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.355450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74544 KachelY 61745 0.43181559 0.18073669 24.741211 10.355450
    Oben rechts KachelX + 1 74545 KachelY 61745 0.43186353 0.18073669 24.743958 10.355450
    Unten links KachelX 74544 KachelY + 1 61746 0.43181559 0.18068953 24.741211 10.352747
    Unten rechts KachelX + 1 74545 KachelY + 1 61746 0.43186353 0.18068953 24.743958 10.352747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18073669-0.18068953) × R
    4.71600000000183e-05 × 6371000     		dl = 300.456360000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18073669-0.18068953) × R
    4.71600000000183e-05 × 6371000     		dr = 300.456360000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43181559-0.43186353) × cos(0.18073669) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.98371153653165 × 6371000     		do = 300.450823991519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43181559-0.43186353) × cos(0.18068953) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.983720012651109 × 6371000     		du = 300.453412816577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18073669)-sin(0.18068953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98371153653165-0.983720012651109)×R²
    abs(0.43186353-0.43181559)×8.47611945908877e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.47611945908877e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.47611945908877e-06×40589641000000     		ar = 90272.7498667819m²