Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74544 / 53936
↖ ↑ ↗
← N 30.334954°
E 24.741211°		 ← 263.61 m → N 30.334954°
E 24.743958°		 →
↑
263.57 m
↓
↑
263.57 m
↓
N 30.332583°
E 24.741211°		 ← 263.62 m →
69 480 m²		 N 30.332583°
E 24.743958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568729400634766 y=0.411502838134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568729400634766 × 217)
    floor (0.568729400634766 × 131072)
    floor (74544.5)     		tx = 74544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411502838134766 × 217)
    floor (0.411502838134766 × 131072)
    floor (53936.5)     		ty = 53936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74544 / 53936 ti = "17/74544/53936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74544/53936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74544 ÷ 217
    74544 ÷ 131072     		x = 0.5687255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53936 ÷ 217
    53936 ÷ 131072     		y = 0.4114990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5687255859375 × 2 - 1) × π
    0.137451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43181559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4114990234375 × 2 - 1) × π
    0.177001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.556068035592651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43181559} λ = 0.43181559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.556068035592651))-π/2
    2×atan(1.74380243361597)-π/2
    2×1.05012057523126-π/2
    2.10024115046251-1.57079632675     		φ = 0.52944482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43181559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.741211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52944482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.334954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74544 KachelY 53936 0.43181559 0.52944482 24.741211 30.334954
    Oben rechts KachelX + 1 74545 KachelY 53936 0.43186353 0.52944482 24.743958 30.334954
    Unten links KachelX 74544 KachelY + 1 53937 0.43181559 0.52940345 24.741211 30.332583
    Unten rechts KachelX + 1 74545 KachelY + 1 53937 0.43186353 0.52940345 24.743958 30.332583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52944482-0.52940345) × R
    4.13700000000405e-05 × 6371000     		dl = 263.568270000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52944482-0.52940345) × R
    4.13700000000405e-05 × 6371000     		dr = 263.568270000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43181559-0.43186353) × cos(0.52944482) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.863087599531434 × 6371000     		do = 263.609168771539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43181559-0.43186353) × cos(0.52940345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.863108492887177 × 6371000     		du = 263.615550140178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52944482)-sin(0.52940345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863087599531434-0.863108492887177)×R²
    abs(0.43186353-0.43181559)×2.08933557430679e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.08933557430679e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.08933557430679e-05×40589641000000     		ar = 69479.8535423243m²