Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74544 / 53170
↖ ↑ ↗
← N 32.133757°
E 24.741211°		 ← 258.64 m → N 32.133757°
E 24.743958°		 →
↑
258.60 m
↓
↑
258.60 m
↓
N 32.131431°
E 24.741211°		 ← 258.64 m →
66 884 m²		 N 32.131431°
E 24.743958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568729400634766 y=0.405658721923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568729400634766 × 217)
    floor (0.568729400634766 × 131072)
    floor (74544.5)     		tx = 74544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405658721923828 × 217)
    floor (0.405658721923828 × 131072)
    floor (53170.5)     		ty = 53170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74544 / 53170 ti = "17/74544/53170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74544/53170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74544 ÷ 217
    74544 ÷ 131072     		x = 0.5687255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53170 ÷ 217
    53170 ÷ 131072     		y = 0.405654907226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5687255859375 × 2 - 1) × π
    0.137451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43181559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405654907226562 × 2 - 1) × π
    0.188690185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.592787700701614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43181559} λ = 0.43181559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.592787700701614))-π/2
    2×atan(1.80902441133252)-π/2
    2×1.06581809509737-π/2
    2.13163619019474-1.57079632675     		φ = 0.56083986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43181559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.741211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56083986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.133757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74544 KachelY 53170 0.43181559 0.56083986 24.741211 32.133757
    Oben rechts KachelX + 1 74545 KachelY 53170 0.43186353 0.56083986 24.743958 32.133757
    Unten links KachelX 74544 KachelY + 1 53171 0.43181559 0.56079927 24.741211 32.131431
    Unten rechts KachelX + 1 74545 KachelY + 1 53171 0.43186353 0.56079927 24.743958 32.131431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56083986-0.56079927) × R
    4.0590000000007e-05 × 6371000     		dl = 258.598890000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56083986-0.56079927) × R
    4.0590000000007e-05 × 6371000     		dr = 258.598890000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43181559-0.43186353) × cos(0.56083986) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.84680869021372 × 6371000     		do = 258.637170846787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43181559-0.43186353) × cos(0.56079927) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.846830279239158 × 6371000     		du = 258.643764690857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56083986)-sin(0.56079927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84680869021372-0.846830279239158)×R²
    abs(0.43186353-0.43181559)×2.15890254379181e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15890254379181e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15890254379181e-05×40589641000000     		ar = 66884.137883205m²