Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74543 / 76511
↖ ↑ ↗
← S 28.842268°
E 24.738464°		 ← 267.54 m → S 28.842268°
E 24.741211°		 →
↑
267.52 m
↓
↑
267.52 m
↓
S 28.844674°
E 24.738464°		 ← 267.53 m →
71 570 m²		 S 28.844674°
E 24.741211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568721771240234 y=0.583736419677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568721771240234 × 217)
    floor (0.568721771240234 × 131072)
    floor (74543.5)     		tx = 74543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583736419677734 × 217)
    floor (0.583736419677734 × 131072)
    floor (76511.5)     		ty = 76511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74543 / 76511 ti = "17/74543/76511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74543/76511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74543 ÷ 217
    74543 ÷ 131072     		x = 0.568717956542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76511 ÷ 217
    76511 ÷ 131072     		y = 0.583732604980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568717956542969 × 2 - 1) × π
    0.137435913085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.43176765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583732604980469 × 2 - 1) × π
    -0.167465209960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.526107473330116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43176765} λ = 0.43176765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.526107473330116))-π/2
    2×atan(0.590900595214101)-π/2
    2×0.533701894653542-π/2
    1.06740378930708-1.57079632675     		φ = -0.50339254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43176765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.738464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50339254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.842268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74543 KachelY 76511 0.43176765 -0.50339254 24.738464 -28.842268
    Oben rechts KachelX + 1 74544 KachelY 76511 0.43181559 -0.50339254 24.741211 -28.842268
    Unten links KachelX 74543 KachelY + 1 76512 0.43176765 -0.50343453 24.738464 -28.844674
    Unten rechts KachelX + 1 74544 KachelY + 1 76512 0.43181559 -0.50343453 24.741211 -28.844674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50339254--0.50343453) × R
    4.19900000000473e-05 × 6371000     		dl = 267.518290000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50339254--0.50343453) × R
    4.19900000000473e-05 × 6371000     		dr = 267.518290000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43176765-0.43181559) × cos(-0.50339254) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875951044505785 × 6371000     		do = 267.537995972087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43176765-0.43181559) × cos(-0.50343453) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875930787757238 × 6371000     		du = 267.531809039672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50339254)-sin(-0.50343453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875951044505785-0.875930787757238)×R²
    abs(0.43181559-0.43176765)×2.02567485471095e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02567485471095e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02567485471095e-05×40589641000000     		ar = 71570.4796443055m²