Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74543 / 76509
↖ ↑ ↗
← S 28.837456°
E 24.738464°		 ← 267.55 m → S 28.837456°
E 24.741211°		 →
↑
267.58 m
↓
↑
267.58 m
↓
S 28.839862°
E 24.738464°		 ← 267.54 m →
71 591 m²		 S 28.839862°
E 24.741211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568721771240234 y=0.583721160888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568721771240234 × 217)
    floor (0.568721771240234 × 131072)
    floor (74543.5)     		tx = 74543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583721160888672 × 217)
    floor (0.583721160888672 × 131072)
    floor (76509.5)     		ty = 76509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74543 / 76509 ti = "17/74543/76509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74543/76509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74543 ÷ 217
    74543 ÷ 131072     		x = 0.568717956542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76509 ÷ 217
    76509 ÷ 131072     		y = 0.583717346191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568717956542969 × 2 - 1) × π
    0.137435913085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.43176765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583717346191406 × 2 - 1) × π
    -0.167434692382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.526011599530876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43176765} λ = 0.43176765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.526011599530876))-π/2
    2×atan(0.59095724981494)-π/2
    2×0.533743886001875-π/2
    1.06748777200375-1.57079632675     		φ = -0.50330855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43176765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.738464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50330855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.837456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74543 KachelY 76509 0.43176765 -0.50330855 24.738464 -28.837456
    Oben rechts KachelX + 1 74544 KachelY 76509 0.43181559 -0.50330855 24.741211 -28.837456
    Unten links KachelX 74543 KachelY + 1 76510 0.43176765 -0.50335055 24.738464 -28.839862
    Unten rechts KachelX + 1 74544 KachelY + 1 76510 0.43181559 -0.50335055 24.741211 -28.839862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50330855--0.50335055) × R
    4.19999999999865e-05 × 6371000     		dl = 267.581999999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50330855--0.50335055) × R
    4.19999999999865e-05 × 6371000     		dr = 267.581999999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43176765-0.43181559) × cos(-0.50330855) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875991558192782 × 6371000     		do = 267.550369894918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43176765-0.43181559) × cos(-0.50335055) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.87597129970989 × 6371000     		du = 267.544182432789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50330855)-sin(-0.50335055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875991558192782-0.87597129970989)×R²
    abs(0.43181559-0.43176765)×2.02584828917773e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02584828917773e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02584828917773e-05×40589641000000     		ar = 71590.8352609039m²