Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74543 / 76493
↖ ↑ ↗
← S 28.798953°
E 24.738464°		 ← 267.65 m → S 28.798953°
E 24.741211°		 →
↑
267.65 m
↓
↑
267.65 m
↓
S 28.801360°
E 24.738464°		 ← 267.64 m →
71 634 m²		 S 28.801360°
E 24.741211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568721771240234 y=0.583599090576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568721771240234 × 217)
    floor (0.568721771240234 × 131072)
    floor (74543.5)     		tx = 74543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583599090576172 × 217)
    floor (0.583599090576172 × 131072)
    floor (76493.5)     		ty = 76493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74543 / 76493 ti = "17/74543/76493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74543/76493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74543 ÷ 217
    74543 ÷ 131072     		x = 0.568717956542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76493 ÷ 217
    76493 ÷ 131072     		y = 0.583595275878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568717956542969 × 2 - 1) × π
    0.137435913085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.43176765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583595275878906 × 2 - 1) × π
    -0.167190551757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.525244609136955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43176765} λ = 0.43176765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.525244609136955))-π/2
    2×atan(0.591410682215685)-π/2
    2×0.534079886677022-π/2
    1.06815977335404-1.57079632675     		φ = -0.50263655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43176765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.738464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50263655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.798953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74543 KachelY 76493 0.43176765 -0.50263655 24.738464 -28.798953
    Oben rechts KachelX + 1 74544 KachelY 76493 0.43181559 -0.50263655 24.741211 -28.798953
    Unten links KachelX 74543 KachelY + 1 76494 0.43176765 -0.50267856 24.738464 -28.801360
    Unten rechts KachelX + 1 74544 KachelY + 1 76494 0.43181559 -0.50267856 24.741211 -28.801360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50263655--0.50267856) × R
    4.20100000000367e-05 × 6371000     		dl = 267.645710000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50263655--0.50267856) × R
    4.20100000000367e-05 × 6371000     		dr = 267.645710000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43176765-0.43181559) × cos(-0.50263655) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876315483740881 × 6371000     		do = 267.649305095151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43176765-0.43181559) × cos(-0.50267856) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876295245168517 × 6371000     		du = 267.64312371421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50263655)-sin(-0.50267856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876315483740881-0.876295245168517)×R²
    abs(0.43181559-0.43176765)×2.02385723644394e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02385723644394e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02385723644394e-05×40589641000000     		ar = 71634.361093692m²