Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74543 / 53411
↖ ↑ ↗
← N 31.571516°
E 24.738464°		 ← 260.22 m → N 31.571516°
E 24.741211°		 →
↑
260.26 m
↓
↑
260.26 m
↓
N 31.569175°
E 24.738464°		 ← 260.23 m →
67 724 m²		 N 31.569175°
E 24.741211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568721771240234 y=0.407497406005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568721771240234 × 217)
    floor (0.568721771240234 × 131072)
    floor (74543.5)     		tx = 74543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407497406005859 × 217)
    floor (0.407497406005859 × 131072)
    floor (53411.5)     		ty = 53411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74543 / 53411 ti = "17/74543/53411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74543/53411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74543 ÷ 217
    74543 ÷ 131072     		x = 0.568717956542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53411 ÷ 217
    53411 ÷ 131072     		y = 0.407493591308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568717956542969 × 2 - 1) × π
    0.137435913085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.43176765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407493591308594 × 2 - 1) × π
    0.185012817382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.581234907893181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43176765} λ = 0.43176765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.581234907893181))-π/2
    2×atan(1.78824538611857)-π/2
    2×1.06091161132515-π/2
    2.12182322265029-1.57079632675     		φ = 0.55102690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43176765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.738464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55102690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.571516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74543 KachelY 53411 0.43176765 0.55102690 24.738464 31.571516
    Oben rechts KachelX + 1 74544 KachelY 53411 0.43181559 0.55102690 24.741211 31.571516
    Unten links KachelX 74543 KachelY + 1 53412 0.43176765 0.55098605 24.738464 31.569175
    Unten rechts KachelX + 1 74544 KachelY + 1 53412 0.43181559 0.55098605 24.741211 31.569175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55102690-0.55098605) × R
    4.08499999999812e-05 × 6371000     		dl = 260.25534999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55102690-0.55098605) × R
    4.08499999999812e-05 × 6371000     		dr = 260.25534999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43176765-0.43181559) × cos(0.55102690) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.851987325134874 × 6371000     		do = 260.21885925007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43176765-0.43181559) × cos(0.55098605) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.852008711948476 × 6371000     		du = 260.225391333441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55102690)-sin(0.55098605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851987325134874-0.852008711948476)×R²
    abs(0.43181559-0.43176765)×2.13868136025308e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13868136025308e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13868136025308e-05×40589641000000     		ar = 67724.2003050602m²