Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74541 / 76949
↖ ↑ ↗
← S 29.890662°
E 24.732971°		 ← 264.80 m → S 29.890662°
E 24.735718°		 →
↑
264.78 m
↓
↑
264.78 m
↓
S 29.893043°
E 24.732971°		 ← 264.79 m →
70 112 m²		 S 29.893043°
E 24.735718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568706512451172 y=0.587078094482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568706512451172 × 217)
    floor (0.568706512451172 × 131072)
    floor (74541.5)     		tx = 74541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587078094482422 × 217)
    floor (0.587078094482422 × 131072)
    floor (76949.5)     		ty = 76949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74541 / 76949 ti = "17/74541/76949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74541/76949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74541 ÷ 217
    74541 ÷ 131072     		x = 0.568702697753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76949 ÷ 217
    76949 ÷ 131072     		y = 0.587074279785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568702697753906 × 2 - 1) × π
    0.137405395507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.43167178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587074279785156 × 2 - 1) × π
    -0.174148559570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.547103835363701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43167178} λ = 0.43167178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.547103835363701))-π/2
    2×atan(0.578623174016875)-π/2
    2×0.524552928015514-π/2
    1.04910585603103-1.57079632675     		φ = -0.52169047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43167178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.732971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52169047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.890662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74541 KachelY 76949 0.43167178 -0.52169047 24.732971 -29.890662
    Oben rechts KachelX + 1 74542 KachelY 76949 0.43171972 -0.52169047 24.735718 -29.890662
    Unten links KachelX 74541 KachelY + 1 76950 0.43167178 -0.52173203 24.732971 -29.893043
    Unten rechts KachelX + 1 74542 KachelY + 1 76950 0.43171972 -0.52173203 24.735718 -29.893043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52169047--0.52173203) × R
    4.1559999999996e-05 × 6371000     		dl = 264.778759999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52169047--0.52173203) × R
    4.1559999999996e-05 × 6371000     		dr = 264.778759999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43167178-0.43171972) × cos(-0.52169047) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.866977979132798 × 6371000     		do = 264.797390840166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43167178-0.43171972) × cos(-0.52173203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.866957267105627 × 6371000     		du = 264.79106485394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52169047)-sin(-0.52173203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866977979132798-0.866957267105627)×R²
    abs(0.43171972-0.43167178)×2.07120271706884e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.07120271706884e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.07120271706884e-05×40589641000000     		ar = 70111.8873144909m²