Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74541 / 76525
↖ ↑ ↗
← S 28.875945°
E 24.732971°		 ← 267.45 m → S 28.875945°
E 24.735718°		 →
↑
267.39 m
↓
↑
267.39 m
↓
S 28.878349°
E 24.732971°		 ← 267.45 m →
71 513 m²		 S 28.878349°
E 24.735718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568706512451172 y=0.583843231201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568706512451172 × 217)
    floor (0.568706512451172 × 131072)
    floor (74541.5)     		tx = 74541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583843231201172 × 217)
    floor (0.583843231201172 × 131072)
    floor (76525.5)     		ty = 76525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74541 / 76525 ti = "17/74541/76525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74541/76525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74541 ÷ 217
    74541 ÷ 131072     		x = 0.568702697753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76525 ÷ 217
    76525 ÷ 131072     		y = 0.583839416503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568702697753906 × 2 - 1) × π
    0.137405395507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.43167178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583839416503906 × 2 - 1) × π
    -0.167678833007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.526778589924797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43167178} λ = 0.43167178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.526778589924797))-π/2
    2×atan(0.590504165059153)-π/2
    2×0.53340800960373-π/2
    1.06681601920746-1.57079632675     		φ = -0.50398031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43167178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.732971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50398031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.875945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74541 KachelY 76525 0.43167178 -0.50398031 24.732971 -28.875945
    Oben rechts KachelX + 1 74542 KachelY 76525 0.43171972 -0.50398031 24.735718 -28.875945
    Unten links KachelX 74541 KachelY + 1 76526 0.43167178 -0.50402228 24.732971 -28.878349
    Unten rechts KachelX + 1 74542 KachelY + 1 76526 0.43171972 -0.50402228 24.735718 -28.878349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50398031--0.50402228) × R
    4.19700000000578e-05 × 6371000     		dl = 267.390870000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50398031--0.50402228) × R
    4.19700000000578e-05 × 6371000     		dr = 267.390870000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43167178-0.43171972) × cos(-0.50398031) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875667352960499 × 6371000     		do = 267.451349271626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43167178-0.43171972) × cos(-0.50402228) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875647084255856 × 6371000     		du = 267.445158687512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50398031)-sin(-0.50402228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875667352960499-0.875647084255856)×R²
    abs(0.43171972-0.43167178)×2.02687046426675e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02687046426675e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02687046426675e-05×40589641000000     		ar = 71513.2213221523m²