Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74540 / 78603
↖ ↑ ↗
← S 33.749464°
E 24.730224°		 ← 253.95 m → S 33.749464°
E 24.732971°		 →
↑
253.95 m
↓
↑
253.95 m
↓
S 33.751748°
E 24.730224°		 ← 253.95 m →
64 490 m²		 S 33.751748°
E 24.732971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568698883056641 y=0.599697113037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568698883056641 × 217)
    floor (0.568698883056641 × 131072)
    floor (74540.5)     		tx = 74540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599697113037109 × 217)
    floor (0.599697113037109 × 131072)
    floor (78603.5)     		ty = 78603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74540 / 78603 ti = "17/74540/78603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74540/78603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74540 ÷ 217
    74540 ÷ 131072     		x = 0.568695068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78603 ÷ 217
    78603 ÷ 131072     		y = 0.599693298339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568695068359375 × 2 - 1) × π
    0.13739013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43162384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599693298339844 × 2 - 1) × π
    -0.199386596679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.626391467335274
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43162384} λ = 0.43162384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.626391467335274))-π/2
    2×atan(0.53451714766671)-π/2
    2×0.490878527934885-π/2
    0.98175705586977-1.57079632675     		φ = -0.58903927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43162384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.730224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58903927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.749464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74540 KachelY 78603 0.43162384 -0.58903927 24.730224 -33.749464
    Oben rechts KachelX + 1 74541 KachelY 78603 0.43167178 -0.58903927 24.732971 -33.749464
    Unten links KachelX 74540 KachelY + 1 78604 0.43162384 -0.58907913 24.730224 -33.751748
    Unten rechts KachelX + 1 74541 KachelY + 1 78604 0.43167178 -0.58907913 24.732971 -33.751748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58903927--0.58907913) × R
    3.98600000000027e-05 × 6371000     		dl = 253.948060000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58903927--0.58907913) × R
    3.98600000000027e-05 × 6371000     		dr = 253.948060000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43162384-0.43167178) × cos(-0.58903927) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.8314748082635 × 6371000     		do = 253.953808605365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43162384-0.43167178) × cos(-0.58907913) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.831452662883453 × 6371000     		du = 253.947044836277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58903927)-sin(-0.58907913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8314748082635-0.831452662883453)×R²
    abs(0.43167178-0.43162384)×2.21453800474114e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21453800474114e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21453800474114e-05×40589641000000     		ar = 64490.2182106639m²