Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7454 / 10658
↖ ↑ ↗
← S 47.546872°
W 16.215821°		 ← 1 649.18 m → S 47.546872°
W 16.193848°		 →
↑
1 648.94 m
↓
↑
1 648.94 m
↓
S 47.561701°
W 16.215821°		 ← 1 648.71 m →
2 719 019 m²		 S 47.561701°
W 16.193848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454986572265625 y=0.650543212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454986572265625 × 214)
    floor (0.454986572265625 × 16384)
    floor (7454.5)     		tx = 7454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650543212890625 × 214)
    floor (0.650543212890625 × 16384)
    floor (10658.5)     		ty = 10658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7454 / 10658 ti = "14/7454/10658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7454/10658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7454 ÷ 214
    7454 ÷ 16384     		x = 0.4549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10658 ÷ 214
    10658 ÷ 16384     		y = 0.6505126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4549560546875 × 2 - 1) × π
    -0.090087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28301946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6505126953125 × 2 - 1) × π
    -0.301025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.945699155704468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28301946} λ = -0.28301946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.945699155704468))-π/2
    2×atan(0.388407918337333)-π/2
    2×0.370473434194483-π/2
    0.740946868388965-1.57079632675     		φ = -0.82984946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28301946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.215821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82984946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.546872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7454 KachelY 10658 -0.28301946 -0.82984946 -16.215821 -47.546872
    Oben rechts KachelX + 1 7455 KachelY 10658 -0.28263596 -0.82984946 -16.193848 -47.546872
    Unten links KachelX 7454 KachelY + 1 10659 -0.28301946 -0.83010828 -16.215821 -47.561701
    Unten rechts KachelX + 1 7455 KachelY + 1 10659 -0.28263596 -0.83010828 -16.193848 -47.561701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82984946--0.83010828) × R
    0.000258819999999993 × 6371000     		dl = 1648.94221999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82984946--0.83010828) × R
    0.000258819999999993 × 6371000     		dr = 1648.94221999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28301946--0.28263596) × cos(-0.82984946) × R
    0.000383499999999981 × 0.674986840612339 × 6371000     		do = 1649.18083545097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28301946--0.28263596) × cos(-0.83010828) × R
    0.000383499999999981 × 0.674795852906249 × 6371000     		du = 1648.71419929492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82984946)-sin(-0.83010828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674986840612339-0.674795852906249)×R²
    abs(-0.28263596--0.28301946)×0.000190987706089385×R²
    0.000383499999999981×0.000190987706089385×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190987706089385×40589641000000     		ar = 2719019.19513735m²