Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74539 / 53329
↖ ↑ ↗
← N 31.763202°
E 24.727478°		 ← 259.63 m → N 31.763202°
E 24.730224°		 →
↑
259.68 m
↓
↑
259.68 m
↓
N 31.760867°
E 24.727478°		 ← 259.63 m →
67 422 m²		 N 31.760867°
E 24.730224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568691253662109 y=0.406871795654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568691253662109 × 217)
    floor (0.568691253662109 × 131072)
    floor (74539.5)     		tx = 74539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406871795654297 × 217)
    floor (0.406871795654297 × 131072)
    floor (53329.5)     		ty = 53329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74539 / 53329 ti = "17/74539/53329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74539/53329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74539 ÷ 217
    74539 ÷ 131072     		x = 0.568687438964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53329 ÷ 217
    53329 ÷ 131072     		y = 0.406867980957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568687438964844 × 2 - 1) × π
    0.137374877929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.43157591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406867980957031 × 2 - 1) × π
    0.186264038085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.585165733662026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43157591} λ = 0.43157591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.585165733662026))-π/2
    2×atan(1.7952885007227)-π/2
    2×1.06258439316005-π/2
    2.1251687863201-1.57079632675     		φ = 0.55437246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43157591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.727478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55437246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.763202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74539 KachelY 53329 0.43157591 0.55437246 24.727478 31.763202
    Oben rechts KachelX + 1 74540 KachelY 53329 0.43162384 0.55437246 24.730224 31.763202
    Unten links KachelX 74539 KachelY + 1 53330 0.43157591 0.55433170 24.727478 31.760867
    Unten rechts KachelX + 1 74540 KachelY + 1 53330 0.43162384 0.55433170 24.730224 31.760867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55437246-0.55433170) × R
    4.0759999999973e-05 × 6371000     		dl = 259.681959999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55437246-0.55433170) × R
    4.0759999999973e-05 × 6371000     		dr = 259.681959999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43157591-0.43162384) × cos(0.55437246) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.850230950898604 × 6371000     		do = 259.628249135086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43157591-0.43162384) × cos(0.55433170) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.850252406657806 × 6371000     		du = 259.634800909271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55437246)-sin(0.55433170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850230950898604-0.850252406657806)×R²
    abs(0.43162384-0.43157591)×2.14557592010944e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.14557592010944e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.14557592010944e-05×40589641000000     		ar = 67421.6233047569m²