Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74538 / 76522
↖ ↑ ↗
← S 28.868729°
E 24.724731°		 ← 267.47 m → S 28.868729°
E 24.727478°		 →
↑
267.45 m
↓
↑
267.45 m
↓
S 28.871134°
E 24.724731°		 ← 267.46 m →
71 535 m²		 S 28.871134°
E 24.727478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568683624267578 y=0.583820343017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568683624267578 × 217)
    floor (0.568683624267578 × 131072)
    floor (74538.5)     		tx = 74538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583820343017578 × 217)
    floor (0.583820343017578 × 131072)
    floor (76522.5)     		ty = 76522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74538 / 76522 ti = "17/74538/76522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74538/76522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74538 ÷ 217
    74538 ÷ 131072     		x = 0.568679809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76522 ÷ 217
    76522 ÷ 131072     		y = 0.583816528320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568679809570312 × 2 - 1) × π
    0.137359619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43152797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583816528320312 × 2 - 1) × π
    -0.167633056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.526634779225937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43152797} λ = 0.43152797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.526634779225937))-π/2
    2×atan(0.590589091982364)-π/2
    2×0.533470976957109-π/2
    1.06694195391422-1.57079632675     		φ = -0.50385437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43152797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.724731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50385437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.868729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74538 KachelY 76522 0.43152797 -0.50385437 24.724731 -28.868729
    Oben rechts KachelX + 1 74539 KachelY 76522 0.43157591 -0.50385437 24.727478 -28.868729
    Unten links KachelX 74538 KachelY + 1 76523 0.43152797 -0.50389635 24.724731 -28.871134
    Unten rechts KachelX + 1 74539 KachelY + 1 76523 0.43157591 -0.50389635 24.727478 -28.871134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50385437--0.50389635) × R
    4.1979999999997e-05 × 6371000     		dl = 267.454579999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50385437--0.50389635) × R
    4.1979999999997e-05 × 6371000     		dr = 267.454579999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43152797-0.43157591) × cos(-0.50385437) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875728164303592 × 6371000     		do = 267.4699226214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43152797-0.43157591) × cos(-0.50389635) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.87570789539916 × 6371000     		du = 267.463731976265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50385437)-sin(-0.50389635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875728164303592-0.87570789539916)×R²
    abs(0.43157591-0.43152797)×2.02689044315196e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02689044315196e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02689044315196e-05×40589641000000     		ar = 71535.2279697088m²