Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74538 / 76478
↖ ↑ ↗
← S 28.762844°
E 24.724731°		 ← 267.74 m → S 28.762844°
E 24.727478°		 →
↑
267.71 m
↓
↑
267.71 m
↓
S 28.765252°
E 24.724731°		 ← 267.74 m →
71 676 m²		 S 28.765252°
E 24.727478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568683624267578 y=0.583484649658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568683624267578 × 217)
    floor (0.568683624267578 × 131072)
    floor (74538.5)     		tx = 74538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583484649658203 × 217)
    floor (0.583484649658203 × 131072)
    floor (76478.5)     		ty = 76478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74538 / 76478 ti = "17/74538/76478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74538/76478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74538 ÷ 217
    74538 ÷ 131072     		x = 0.568679809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76478 ÷ 217
    76478 ÷ 131072     		y = 0.583480834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568679809570312 × 2 - 1) × π
    0.137359619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43152797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583480834960938 × 2 - 1) × π
    -0.166961669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.524525555642654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43152797} λ = 0.43152797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.524525555642654))-π/2
    2×atan(0.591836091060828)-π/2
    2×0.534395000084646-π/2
    1.06879000016929-1.57079632675     		φ = -0.50200633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43152797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.724731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50200633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.762844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74538 KachelY 76478 0.43152797 -0.50200633 24.724731 -28.762844
    Oben rechts KachelX + 1 74539 KachelY 76478 0.43157591 -0.50200633 24.727478 -28.762844
    Unten links KachelX 74538 KachelY + 1 76479 0.43152797 -0.50204835 24.724731 -28.765252
    Unten rechts KachelX + 1 74539 KachelY + 1 76479 0.43157591 -0.50204835 24.727478 -28.765252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50200633--0.50204835) × R
    4.2020000000087e-05 × 6371000     		dl = 267.709420000554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50200633--0.50204835) × R
    4.2020000000087e-05 × 6371000     		dr = 267.709420000554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43152797-0.43157591) × cos(-0.50200633) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876618910402519 × 6371000     		do = 267.741979407818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43152797-0.43157591) × cos(-0.50204835) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876598690222611 × 6371000     		du = 267.735803644406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50200633)-sin(-0.50204835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876618910402519-0.876598690222611)×R²
    abs(0.43157591-0.43152797)×2.02201799084367e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02201799084367e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02201799084367e-05×40589641000000     		ar = 71676.2233726145m²