Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74537 / 78601
↖ ↑ ↗
← S 33.744897°
E 24.721985°		 ← 253.97 m → S 33.744897°
E 24.724731°		 →
↑
253.95 m
↓
↑
253.95 m
↓
S 33.747180°
E 24.721985°		 ← 253.96 m →
64 494 m²		 S 33.747180°
E 24.724731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568675994873047 y=0.599681854248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568675994873047 × 217)
    floor (0.568675994873047 × 131072)
    floor (74537.5)     		tx = 74537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599681854248047 × 217)
    floor (0.599681854248047 × 131072)
    floor (78601.5)     		ty = 78601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74537 / 78601 ti = "17/74537/78601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74537/78601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74537 ÷ 217
    74537 ÷ 131072     		x = 0.568672180175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78601 ÷ 217
    78601 ÷ 131072     		y = 0.599678039550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568672180175781 × 2 - 1) × π
    0.137344360351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.43148003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599678039550781 × 2 - 1) × π
    -0.199356079101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.626295593536034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43148003} λ = 0.43148003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.626295593536034))-π/2
    2×atan(0.534568396313078)-π/2
    2×0.490918387320762-π/2
    0.981836774641523-1.57079632675     		φ = -0.58895955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43148003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.721985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58895955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.744897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74537 KachelY 78601 0.43148003 -0.58895955 24.721985 -33.744897
    Oben rechts KachelX + 1 74538 KachelY 78601 0.43152797 -0.58895955 24.724731 -33.744897
    Unten links KachelX 74537 KachelY + 1 78602 0.43148003 -0.58899941 24.721985 -33.747180
    Unten rechts KachelX + 1 74538 KachelY + 1 78602 0.43152797 -0.58899941 24.724731 -33.747180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58895955--0.58899941) × R
    3.98600000000027e-05 × 6371000     		dl = 253.948060000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58895955--0.58899941) × R
    3.98600000000027e-05 × 6371000     		dr = 253.948060000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43148003-0.43152797) × cos(-0.58895955) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.831519095060369 × 6371000     		do = 253.967334932777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43148003-0.43152797) × cos(-0.58899941) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.831496952322484 × 6371000     		du = 253.960571970673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58895955)-sin(-0.58899941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831519095060369-0.831496952322484)×R²
    abs(0.43152797-0.43148003)×2.21427378852557e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21427378852557e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21427378852557e-05×40589641000000     		ar = 64493.6532976372m²