Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74536 / 78600
↖ ↑ ↗
← S 33.742613°
E 24.719238°		 ← 253.92 m → S 33.742613°
E 24.721985°		 →
↑
253.95 m
↓
↑
253.95 m
↓
S 33.744897°
E 24.719238°		 ← 253.91 m →
64 482 m²		 S 33.744897°
E 24.721985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568668365478516 y=0.599674224853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568668365478516 × 217)
    floor (0.568668365478516 × 131072)
    floor (74536.5)     		tx = 74536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599674224853516 × 217)
    floor (0.599674224853516 × 131072)
    floor (78600.5)     		ty = 78600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74536 / 78600 ti = "17/74536/78600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74536/78600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74536 ÷ 217
    74536 ÷ 131072     		x = 0.56866455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78600 ÷ 217
    78600 ÷ 131072     		y = 0.59967041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56866455078125 × 2 - 1) × π
    0.1373291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43143210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59967041015625 × 2 - 1) × π
    -0.1993408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.626247656636414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43143210} λ = 0.43143210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.626247656636414))-π/2
    2×atan(0.534594022478846)-π/2
    2×0.490938317809785-π/2
    0.98187663561957-1.57079632675     		φ = -0.58891969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43143210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.719238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58891969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.742613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74536 KachelY 78600 0.43143210 -0.58891969 24.719238 -33.742613
    Oben rechts KachelX + 1 74537 KachelY 78600 0.43148003 -0.58891969 24.721985 -33.742613
    Unten links KachelX 74536 KachelY + 1 78601 0.43143210 -0.58895955 24.719238 -33.744897
    Unten rechts KachelX + 1 74537 KachelY + 1 78601 0.43148003 -0.58895955 24.721985 -33.744897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58891969--0.58895955) × R
    3.98600000000027e-05 × 6371000     		dl = 253.948060000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58891969--0.58895955) × R
    3.98600000000027e-05 × 6371000     		dr = 253.948060000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43143210-0.43148003) × cos(-0.58891969) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.831541236477121 × 6371000     		do = 253.921119999519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43143210-0.43148003) × cos(-0.58895955) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.831519095060369 × 6371000     		du = 253.914358851553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58891969)-sin(-0.58895955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831541236477121-0.831519095060369)×R²
    abs(0.43148003-0.43143210)×2.21414167514977e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.21414167514977e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.21414167514977e-05×40589641000000     		ar = 64481.9173351761m²