Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74534 / 76534
↖ ↑ ↗
← S 28.897588°
E 24.713745°		 ← 267.40 m → S 28.897588°
E 24.716492°		 →
↑
267.39 m
↓
↑
267.39 m
↓
S 28.899993°
E 24.713745°		 ← 267.39 m →
71 498 m²		 S 28.899993°
E 24.716492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568653106689453 y=0.583911895751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568653106689453 × 217)
    floor (0.568653106689453 × 131072)
    floor (74534.5)     		tx = 74534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583911895751953 × 217)
    floor (0.583911895751953 × 131072)
    floor (76534.5)     		ty = 76534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74534 / 76534 ti = "17/74534/76534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74534/76534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74534 ÷ 217
    74534 ÷ 131072     		x = 0.568649291992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76534 ÷ 217
    76534 ÷ 131072     		y = 0.583908081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568649291992188 × 2 - 1) × π
    0.137298583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43133622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583908081054688 × 2 - 1) × π
    -0.167816162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.527210022021378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43133622} λ = 0.43133622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.527210022021378))-π/2
    2×atan(0.590249457557629)-π/2
    2×0.533219133783317-π/2
    1.06643826756663-1.57079632675     		φ = -0.50435806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43133622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.713745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50435806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.897588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74534 KachelY 76534 0.43133622 -0.50435806 24.713745 -28.897588
    Oben rechts KachelX + 1 74535 KachelY 76534 0.43138416 -0.50435806 24.716492 -28.897588
    Unten links KachelX 74534 KachelY + 1 76535 0.43133622 -0.50440003 24.713745 -28.899993
    Unten rechts KachelX + 1 74535 KachelY + 1 76535 0.43138416 -0.50440003 24.716492 -28.899993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50435806--0.50440003) × R
    4.19699999999468e-05 × 6371000     		dl = 267.390869999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50435806--0.50440003) × R
    4.19699999999468e-05 × 6371000     		dr = 267.390869999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43133622-0.43138416) × cos(-0.50435806) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875484869429123 × 6371000     		do = 267.395614104327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43133622-0.43138416) × cos(-0.50440003) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.87546458684311 × 6371000     		du = 267.389419280485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50435806)-sin(-0.50440003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875484869429123-0.87546458684311)×R²
    abs(0.43138416-0.43133622)×2.02825860123879e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02825860123879e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02825860123879e-05×40589641000000     		ar = 71498.3176802314m²